Seja a função homomorfismo de grupos f: Z6 Z3 dada por
f(x)=barx
Mostre que f é um homomorfismo de grupos.

Passo 1

A questão pede para mostrar que a aplicação entre grupos f:Z6toZ3 definida por f(bar x)=bar x é um homomorfismo. O conteúdo principal aqui é a definição de homomorfismo de grupos abelianos sob adição: precisamos verificar que a função é bem-definida e que preserva a operação de soma.

Passo 2

Para provar que f é bem-definida, suponha que dois representantes sejam iguais em Z6, isto é, bar x6=bar y6. Isso significa que x-y é múltiplo de 6, logo é múltiplo de 3 e, portanto, bar x3=bar y3. Assim, a regra f(bar x6)=bar x3 não depende da escolha do representante.

Passo 3

Agora mostramos que f preserva a soma. Tomando bar x6,bar y6inZ6, temos
f(bar x6+bar y6)=f(x+y6)=x+y3=bar x3+bar y3=f(bar x6)+f(bar y6)

Passo 4

Como a aplicação é bem-definida e satisfaz f(a+b)=f(a)+f(b), concluímos que f é um homomorfismo de grupos.

Resposta

f é um homomorfismo de grupos.

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