A tábua de multiplicação abaixo define uma operação
que confere ao conjunto
uma estrutura de grupo.
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Determine o subgrupo gerado por
.
Passo 1
Você tem um grupo abeliano finito de ordem 6 dado pela tabela de multiplicação, e a tarefa é achar o subgrupo gerado pelo elemento
. Vamos usar teoria de grupos cíclicos e a ideia de potências de um elemento.
Passo 2
O subgrupo gerado por
, denotado
, é o conjunto de todas as potências
para
. Em grupos finitos basta calcular as potências positivas até retornar à identidade
.
Passo 3
Para começar, calculamos
diretamente.
Passo 4
Usando a tabela, temos
pois na linha de
e coluna de
o resultado é
.
Em seguida,
Em seguida,
pois na linha de
e coluna de
o resultado é
, a identidade.
Passo 5
Como retornamos à identidade em 3 passos, a ordem de
é 3 e o subgrupo gerado é
Resposta
{e, b, d}