A tábua de multiplicação abaixo define uma operação cdot que confere ao conjunto G=e, a, b, c, d, f uma estrutura de grupo.
cdot e a b c d f
e e a b c d f
a a b c d f e
b b c d f e a
c c d f e a b
d d f e a b c
f f e a b c d
Determine o subgrupo gerado por b.

Passo 1

Você tem um grupo abeliano finito de ordem 6 dado pela tabela de multiplicação, e a tarefa é achar o subgrupo gerado pelo elemento b. Vamos usar teoria de grupos cíclicos e a ideia de potências de um elemento.

Passo 2

O subgrupo gerado por b, denotado lang<= brang<=, é o conjunto de todas as potências b^n para ninZ. Em grupos finitos basta calcular as potências positivas até retornar à identidade e.

Passo 3

Para começar, calculamos b^1 = b diretamente.

Passo 4

Usando a tabela, temos
b^2 = b cdot b = d,
pois na linha de b e coluna de b o resultado é d.
Em seguida,
b^3 = b^2 cdot b = d cdot b = e,
pois na linha de d e coluna de b o resultado é e, a identidade.

Passo 5

Como retornamos à identidade em 3 passos, a ordem de b é 3 e o subgrupo gerado é
lang<= brang<= = e,,b,,b^2 = e,,b,,d

Resposta

{e, b, d}

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