A tábua de multiplicação abaixo define uma operação cdot que confere ao conjunto G=e, a, b, c, d, f uma estrutura de grupo.
cdot e a b c d f
e e a b c d f
a a b c d f e
b b c d f e a
c c d f e a b
d d f e a b c
f f e a b c d
Determine a ordem de d.

Passo 1

O enunciado nos dá o grupo G = {e, a, b, c, d, f} de ordem 6 definido por uma tabela de multiplicação e pede a ordem do elemento d. Vamos usar conceitos de grupo cíclico e ordem de elemento.

Passo 2

Para ver que G é cíclico, observamos na tabela as potências de a: usando a·a = b, a·b = c, a·c = d, a·d = f, a·f = e, concluímos que
a^1 = a, a^2 = b, a^3 = c, a^4 = d, a^5 = f, a^6 = e
Como a percorre todos os elementos e retorna a e em 6 passos, |a| = 6 e G = ⟨a⟩.

Passo 3

Vemos que d aparece como a^4, isto é, d = a^4. Pela teoria de grupos cíclicos, se |a| = n e d = a^k então
ord(d) = ngcd(k,n)

Passo 4

Aqui n = 6 e k = 4, então
gcd(4,6) = 2 Longrightarrow ord(d) = 62 = 3

Resposta

3

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