Seja a função homomorfismo de grupos f: Z6 Z3 dada por
f(x)=barx
Determine o núcleo ker(f) e a imagem Im(f).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função chamada homomorfismo de grupos, que é basicamente uma função que respeita a estrutura dos grupos envolvidos. Aqui, temos:
f: Z6 Z3
Isso significa que estamos mapeando elementos do conjunto dos inteiros módulo 6 para o conjunto dos inteiros módulo 3. A função é dada por:
f(x) = x
Nosso objetivo é encontrar o núcleo de $ f $, que é o conjunto de todos os elementos em $ \mathbb{Z}{6} $ que são mapeados para o elemento neutro em $ \mathbb{Z}{3} $, e a imagem de $ f $, que é o conjunto de todos os possíveis resultados que a função $ f $ pode produzir.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo da função $ f $, denotado por $ \operatorname{ker}(f) $. Em termos simples, é o conjunto de todos os elementos $ x $ em $ \mathbb{Z}_{6} $ que satisfazem:
f
Ou seja, estamos procurando todos os $ x $ tais que $ x $ seja divisível por 3, já que em $ \mathbb{Z}_{3} $, o elemento neutro é $ \overline{0} $.

Passo 3

Vamos listar os elementos de $ \mathbb{Z}_{6} $:
Z6
Agora, aplicamos a função $ f $ a cada elemento:
Z6 = 0, 1, 2, 3, 4, 5 ááá

Passo 4

Agora, identificamos quais desses elementos são mapeados para $ \overline{0} $ em $ \mathbb{Z}_{3} $:
  • $ f(\overline{0}) = \overline{0} $
  • $ f(\overline{3}) = \overline{0} $
Portanto, o núcleo $ \operatorname{ker}(f) $ é o conjunto desses elementos.

Passo 5

Assim, temos:
ker(f) = 0, 3
Agora, vamos encontrar a imagem de $ f $, $ \operatorname{Im}(f) $, que é o conjunto de todos os valores possíveis que $ f(x) $ pode assumir.

Passo 6

Observando os resultados da aplicação da função:
f(Z6) = 0, 1, 2
Esses são todos os elementos de $ \mathbb{Z}_{3} $, então a imagem cobre todo o grupo de chegada.

Resposta

O núcleo de $ f $ é $ \operatorname{ker}(f) = { \overline{0}, \overline{3} } $ e a imagem de $ f $ é $ \operatorname{Im}(f) = \mathbb{Z}_{3} $.

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