Seja a função homomorfismo de grupos
dada por
Determine o núcleo
e a imagem
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função chamada homomorfismo de grupos, que é basicamente uma função que respeita a estrutura dos grupos envolvidos. Aqui, temos:
Isso significa que estamos mapeando elementos do conjunto dos inteiros módulo 6 para o conjunto dos inteiros módulo 3. A função é dada por:
Nosso objetivo é encontrar o núcleo de $ f $, que é o conjunto de todos os elementos em $ \mathbb{Z}{6} $ que são mapeados para o elemento neutro em $ \mathbb{Z}{3} $, e a imagem de $ f $, que é o conjunto de todos os possíveis resultados que a função $ f $ pode produzir.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo da função $ f $, denotado por $ \operatorname{ker}(f) $. Em termos simples, é o conjunto de todos os elementos $ x $ em $ \mathbb{Z}_{6} $ que satisfazem:
Ou seja, estamos procurando todos os $ x $ tais que $ x $ seja divisível por 3, já que em $ \mathbb{Z}_{3} $, o elemento neutro é $ \overline{0} $.
Passo 3
Vamos listar os elementos de $ \mathbb{Z}_{6} $:
Agora, aplicamos a função $ f $ a cada elemento:
Passo 4
Agora, identificamos quais desses elementos são mapeados para $ \overline{0} $ em $ \mathbb{Z}_{3} $:
- $ f(\overline{0}) = \overline{0} $
- $ f(\overline{3}) = \overline{0} $
Portanto, o núcleo $ \operatorname{ker}(f) $ é o conjunto desses elementos.
Passo 5
Assim, temos:
Agora, vamos encontrar a imagem de $ f $, $ \operatorname{Im}(f) $, que é o conjunto de todos os valores possíveis que $ f(x) $ pode assumir.
Passo 6
Observando os resultados da aplicação da função:
Esses são todos os elementos de $ \mathbb{Z}_{3} $, então a imagem cobre todo o grupo de chegada.
Resposta
O núcleo de $ f $ é $ \operatorname{ker}(f) = { \overline{0}, \overline{3} } $ e a imagem de $ f $ é $ \operatorname{Im}(f) = \mathbb{Z}_{3} $.