Usando a série de Fourier de periodicidade 2 pi da função f(x)=x^2, no intervalo (-pi, pi) e a identidade de Parseval
a0^22+sumn=1^infty(an^2+bn^2)=1pi integral-pi^pi[f(x)]^2 d x
para mostrar que
11^4+12^4+13^4+14^4+ldots=pi^490

Passo 1

A gente tem a função f(x)=x^2 definida em (-pi,pi) e periodizada com período 2pi. O conteúdo aqui é Série de Fourier (para funções pares) e a Identidade de Parseval, que vai ligar os coeficientes da série com a integral de f^2.

Passo 2

Para achar os coeficientes de Fourier, uso as fórmulas para funções pares:
a0=1piintegral-pi^pix^2,dx, an=1piintegral-pi^pix^2cos(nx),dx, bn=0
Calculo primeiro a0:
a0=2piintegral0^pix^2,dx=2picdotpi^33=2pi^23

Passo 3

Agora calculo an para n>=1. Sei da tabela ou posso integrar por partes que
an=4(-1)^nn^2
E como x^2 é par, bn=0.

Passo 4

A Série de Fourier fica então
x^2=a02 + sumn=1^infty ancos(nx)=pi^23 + 4sumn=1^infty(-1)^nn^2cos(nx)

Passo 5

Aplico a Identidade de Parseval:
a0^22 + sumn=1^infty (an^2+bn^2) = 1piintegral-pi^pi[x^2]^2,dx = 1piintegral-pi^pix^4,dx
No lado direito,
integral-pi^pix^4,dx = 2integral0^pi x^4,dx = 2cdotpi^55 = 2pi^55,
então
1piintegral-pi^pix^4,dx = 2pi^45

Passo 6

No lado esquerdo, como a0=2pi^2/3 e an=4(-1)^n/n^2, temos
a0^22 = 12l(2pi^23r)^2 = 2pi^49,
sumn=1^infty(an^2+bn^2)=sumn=1^inftyl(4n^2r)^2 = 16sumn=1^infty1n^4
Então o Parseval vira
2pi^49 + 16sumn=1^infty1n^4 = 2pi^45

Passo 7

É só isolar a série S=sumn=1^infty1n^4:
16S = 2pi^45 - 2pi^49 = 2pi^4l(15-19r)=2pi^4cdot445=8pi^445,
S=8pi^445cdot16=pi^490

Resposta

sumn=1^infty1n^4=pi^490

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