Usando as regras de derivação, derivar as seguintes funções:
(11 pts) f(x)=\frac{x^{3}+1}{x^{2}+3}\left(x^{2}-2 x^{-1}+1\right)

Passo 1

O que a questão pede: calcular a derivada de f(x).
Informações dadas:
f(x)=\frac{x^{3}+1}{x^{2}+3}\left(x^{2}-2x^{-1}+1\right).
Domínio implícito: x\neq0 (porque aparece x^{-1}) e x^{2}+3\neq0 (mas x^{2}+3>0 para todo x real), então apenas x\neq0 é restrição prática.
Pergunta clara: encontrar f'(x).

Passo 2

Plano e regras de derivação que vamos usar (explicadas de modo intuitivo):
  • Regra do produto: se f(x)=u(x)\,v(x) então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Isto significa: derivada do primeiro vezes o segundo + primeiro vezes derivada do segundo.
  • Regra do quociente: se u(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)} então
u'(x)=\frac{q(x)\,p'(x)-p(x)\,q'(x)}{q(x)^{2}}.
Serve para derivar uma fração.
  • Regra da potência (power rule): para x^{n} temos \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Derivada de x^{-1}: \dfrac{d}{dx}x^{-1}=-x^{-2}.
Vamos aplicar essas regras ao produto entre
u(x)=\frac{x^{3}+1}{x^{2}+3} \qquad\text{e}\qquad v(x)=x^{2}-2x^{-1}+1.

Passo 3

Derivar u(x) usando a regra do quociente.
Aqui p(x)=x^{3}+1 e q(x)=x^{2}+3.
  • p'(x)=3x^{2} (pela regra da potência).
  • q'(x)=2x.
Aplicando a fórmula do quociente:
u'(x)=\frac{(x^{2}+3)\cdot 3x^{2}-(x^{3}+1)\cdot 2x}{(x^{2}+3)^{2}}.
Agora simplifico o numerador passo a passo:
(x^{2}+3)\cdot 3x^{2}=3x^{4}+9x^{2},
(x^{3}+1)\cdot 2x=2x^{4}+2x.
Subtraindo:
3x^{4}+9x^{2}-\bigl(2x^{4}+2x\bigr)=x^{4}+9x^{2}-2x.
Logo:
u'(x)=\frac{x^{4}+9x^{2}-2x}{(x^{2}+3)^{2}}.

Passo 4

Derivar v(x)=x^{2}-2x^{-1}+1.
Aplicando a regra da potência a cada termo:
  • \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
  • \dfrac{d}{dx}(-2x^{-1})=-2\cdot(-1)x^{-2}=2x^{-2}.
  • \dfrac{d}{dx}1=0.
Portanto
v'(x)=2x+2x^{-2}.

Passo 5

Aplicar a regra do produto: f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituo u',u,v,v':
f'(x)=\frac{x^{4}+9x^{2}-2x}{(x^{2}+3)^{2}}\bigl(x^{2}-2x^{-1}+1\bigr) +\frac{x^{3}+1}{x^{2}+3}\bigl(2x+2x^{-2}\bigr).
Agora vamos simplificar cada parcela para poder somá-las com um denominador comum (x^{2}+3)^{2}.

Passo 6

Simplifico a primeira parcela (já com denominador (x^{2}+3)^{2}) multiplicando o numerador:
Denote A=x^{4}+9x^{2}-2x. Então
A\bigl(x^{2}-2x^{-1}+1\bigr)=A x^{2}-2A x^{-1}+A.
Fazendo as multiplicações explicitamente (mostrando os termos):
A x^{2}=x^{6}+9x^{4}-2x^{3},
-2A x^{-1}=-2x^{3}-18x+4,
A=x^{4}+9x^{2}-2x.
Somando esses três resultados (termo a termo) obtém-se o numerador da primeira parcela:
x^{6}+10x^{4}-4x^{3}+9x^{2}-20x+4.
Portanto a primeira parcela é
\frac{x^{6}+10x^{4}-4x^{3}+9x^{2}-20x+4}{(x^{2}+3)^{2}}.

Passo 7

Simplifico a segunda parcela e coloco sobre o mesmo denominador (x^{2}+3)^{2}.
Segunda parcela originalmente:
\frac{x^{3}+1}{x^{2}+3}\bigl(2x+2x^{-2}\bigr).
Primeiro multiplico os termos do numerador:
(x^{3}+1)(2x+2x^{-2})=2\bigl((x^{3}+1)(x+x^{-2})\bigr) =2\bigl(x^{4}+2x+x^{-2}\bigr)=2x^{4}+4x+2x^{-2}.
Para ter denominador (x^{2}+3)^{2} multiplico numerador e denominador por x^{2}+3:
\frac{2x^{4}+4x+2x^{-2}}{x^{2}+3}=\frac{(2x^{4}+4x+2x^{-2})(x^{2}+3)}{(x^{2}+3)^{2}}.
Multiplicando o numerador:
(2x^{4}+4x+2x^{-2})(x^{2}+3)=2x^{6}+6x^{4}+4x^{3}+12x+2+6x^{-2}.

Passo 8

Somar as duas parcelas sobre o mesmo denominador (x^{2}+3)^{2}.
Numerador total (primeira parcela + segunda parcela) é
\bigl(x^{6}+10x^{4}-4x^{3}+9x^{2}-20x+4\bigr) +\bigl(2x^{6}+6x^{4}+4x^{3}+12x+2+6x^{-2}\bigr).
Somando termo a termo:
3x^{6}+16x^{4}+0x^{3}+9x^{2}-8x+6+6x^{-2}.
Ou seja
\frac{3x^{6}+16x^{4}+9x^{2}-8x+6+6x^{-2}}{(x^{2}+3)^{2}}.

Passo 9

Elimino a potência negativa x^{-2} multiplicando numerador e denominador por x^{2} (válido para x\neq0, que já é excluído do domínio):
Multiplicando o numerador por x^{2}:
x^{2}\bigl(3x^{6}+16x^{4}+9x^{2}-8x+6+6x^{-2}\bigr) =3x^{8}+16x^{6}+9x^{4}-8x^{3}+6x^{2}+6.
O denominador fica x^{2}(x^{2}+3)^{2}.
Portanto a forma polinomial simplificada da derivada é
f'(x)=\frac{3x^{8}+16x^{6}+9x^{4}-8x^{3}+6x^{2}+6}{x^{2}(x^{2}+3)^{2}},\qquad x\neq0.

Resposta

f'(x)=\frac{3x^{8}+16x^{6}+9x^{4}-8x^{3}+6x^{2}+6}{x^{2}(x^{2}+3)^{2}}

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