Usando as regras de derivação, derivar as seguintes funções:
(11 pts)
(11 pts)
Passo 1
O que a questão pede: calcular a derivada de
.
Informações dadas:
Domínio implícito:
(porque aparece
) e
(mas
para todo
real), então apenas
é restrição prática.
Pergunta clara: encontrar
.
Passo 2
Plano e regras de derivação que vamos usar (explicadas de modo intuitivo):
- Regra do produto: se
então
Isto significa: derivada do primeiro vezes o segundo + primeiro vezes derivada do segundo.
- Regra do quociente: se
então
Serve para derivar uma fração.
- Regra da potência (power rule): para
temos . - Derivada de
: .
Vamos aplicar essas regras ao produto entre
Passo 3
Derivar
usando a regra do quociente.
Aqui
e
.
-
(pela regra da potência). -
.
Aplicando a fórmula do quociente:
Agora simplifico o numerador passo a passo:
Subtraindo:
Logo:
Passo 4
Derivar
.
Aplicando a regra da potência a cada termo:
-
. -
. -
.
Portanto
Passo 5
Aplicar a regra do produto:
.
Substituo
:
Agora vamos simplificar cada parcela para poder somá-las com um denominador comum
.
Passo 6
Simplifico a primeira parcela (já com denominador
) multiplicando o numerador:
Denote . Então
Denote
Fazendo as multiplicações explicitamente (mostrando os termos):
Somando esses três resultados (termo a termo) obtém-se o numerador da primeira parcela:
Portanto a primeira parcela é
Passo 7
Simplifico a segunda parcela e coloco sobre o mesmo denominador
.
Segunda parcela originalmente:
Primeiro multiplico os termos do numerador:
Para ter denominador
multiplico numerador e denominador por
:
Multiplicando o numerador:
Passo 8
Somar as duas parcelas sobre o mesmo denominador
.
Numerador total (primeira parcela + segunda parcela) é
Somando termo a termo:
Ou seja
Passo 9
Elimino a potência negativa
multiplicando numerador e denominador por
(válido para
, que já é excluído do domínio):
Multiplicando o numerador por
:
O denominador fica
.
Portanto a forma polinomial simplificada da derivada é