Seja a função
dado por
a) Existe
para que
seja contínua em
? Caso afirmativo determine
.
b) Existe
para que
seja diferenciável em
? Caso afirmativo determine
.
b) Existe
Passo 1
O enunciado pede para estudar a continuidade e a diferenciabilidade da função
no ponto (0,0). Vamos precisar calcular o limite de f(x,y) quando (x,y)→(0,0) e também aplicar a definição de diferenciabilidade em várias variáveis (verificar se o resto da expansão linear é de ordem superior a ||(x,y)||).
Passo 2
Para a continuidade, avaliamos
Seja r=\sqrt{x2+y2}. Usando a desigualdade
temos
Como r→0 implica √2 r^3→0, o limite é 0. Logo f será contínua em (0,0) se, e somente se, k=0.
Passo 3
Para a diferenciabilidade, primeiro calculamos as derivadas parciais em (0,0) pelo limite direcional. Por exemplo,
e de modo análogo
Isso mostra que o resto é
e, portanto, f é diferenciável em (0,0) exatamente quando k=0.
Resposta
a) k = 0; b) k = 0