Seja a função f: R^2 longrightarrow R dado por
f(x, y)=rll x^2 y^3raizx^4+y^4 & se & (x, y) neq(0,0) k & se & (x, y)=(0,0)
a) Existe k in R para que f seja contínua em (0,0) ? Caso afirmativo determine k.
b) Existe k in R para que f seja diferenciável em (0,0) ? Caso afirmativo determine k.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a continuidade e a diferenciabilidade da função
f(x,y)=x^2y^3raizx^4+y^4,&(x,y)neq(0,0),k,&(x,y)=(0,0)
no ponto (0,0). Vamos precisar calcular o limite de f(x,y) quando (x,y)→(0,0) e também aplicar a definição de diferenciabilidade em várias variáveis (verificar se o resto da expansão linear é de ordem superior a ||(x,y)||).

Passo 2

Para a continuidade, avaliamos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=lim(x,y)to(0,0)x^2y^3raizx^4+y^4
Seja r=\sqrt{x2+y2}. Usando a desigualdade
x^4+y^4>=(x^2+y^2)^22=r^42,
temos
|f(x,y)|=|x|^2|y|^3raizx^4+y^4<=r^5r^2/raiz2=raiz2,r^3
Como r→0 implica √2 r^3→0, o limite é 0. Logo f será contínua em (0,0) se, e somente se, k=0.

Passo 3

Para a diferenciabilidade, primeiro calculamos as derivadas parciais em (0,0) pelo limite direcional. Por exemplo,
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=0,
e de modo análogo partial f/partial y(0,0)=0. O candidato a diferencial linear é L(x,y)=0. Agora verificamos a definição:
|f(x,y)-L(x,y)|raizx^2+y^2=|f(x,y)|r<=raiz2,r^3r=raiz2,r^2to0(rto0)
Isso mostra que o resto é o(r) e, portanto, f é diferenciável em (0,0) exatamente quando k=0.

Resposta

a) k = 0; b) k = 0

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