Avalie a integral definida.
(f) integral0^1 e^x+1e^x+x d x

Passo 1

A gente tem que calcular a integral definida de 0 a 1 de e^x + 1e^x + x,dx. O conteúdo envolvido é reconhecer que a derivada do denominador aparece no numerador, permitindo usar a fórmula da integral de f'(x)/f(x).

Passo 2

Vamos definir f(x) = e^x + x. Aí vemos que
ddxl(e^x + xr) = e^x + 1,
ou seja, o numerador da integral é exatamente f'(x). Assim podemos reescrever:
integral0^1e^x + 1e^x + x,dx = integral0^1f'(x)f(x),dx

Passo 3

Para esse tipo de integral a gente usa a fórmula
integral f'(x)f(x),dx = lnl|f(x)r| + C

Passo 4

Como é integral definida de 0 a 1, aplicamos
integral0^1f'(x)f(x),dx = l[lnl|f(x)r|r]0^1 = lnl|f(1)r| - lnl|f(0)r|

Passo 5

Agora basta calcular f(1) e f(0):
f(1) = e^1 + 1 = e + 1,
f(0) = e^0 + 0 = 1

Resposta

ln(e + 1)

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