Seja f uma função de \mathbb{R} em \mathbb{R}. Escrever as negações das proposições seguintes:
Se x é elemento de [3,4], então f(x)<4 x^{2}.

Passo 1

O enunciado afirma, de forma implícita, que “para todo real x vale: se x\in[3,4] então f(x)<4x^2”. O conteúdo aqui é lógica de predicados, em particular negação de quantificador universal e de uma implicação.

Passo 2

Reescrevemos a proposição original usando quantificadores:
\forall x\in\mathbb{R},\; \bigl(x\in[3,4]\implies f(x)<4x^2\bigr).
Chamando
P(x): x\in[3,4],\quad Q(x): f(x)<4x^2,
a proposição é \forall x\,(P(x)\implies Q(x)).

Passo 3

Para negar uma afirmação do tipo \forall x\,(P(x)\implies Q(x)) usamos duas regras:
  1. \neg\forall x\,A(x) é equivalente a \exists x\,\neg A(x).
  2. \neg\bigl(P\implies Q\bigr) é equivalente a P\land\neg Q.
    Então
\neg\bigl[\forall x\,(P(x)\implies Q(x))\bigr] \equiv \exists x\,\neg\bigl[P(x)\implies Q(x)\bigr] \equiv \exists x\,\bigl(P(x)\land\neg Q(x)\bigr).

Passo 4

Voltando à notação original, isso dá
\exists x\in\mathbb{R}\text{ tal que }x\in[3,4]\text{ e }f(x)\ge4x^2.
Como x\in\mathbb{R} e x\in[3,4] podem ser condensados para x\in[3,4], concluímos a forma final.

Resposta

\displaystyle \exists x\in[3,4] tal que f(x)\ge4x^2.

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