Seja f uma função polinomial do 4^{\circ} grau tal que f(x)=(a+2 b+c) x 4+(a+b+c) x 3-(a-b) x 2+(2 a-b+c) x+2(a+c), com a, b, c \in \mathbb{R}. Se f é uma função par, mostre que b \neq 0.

Passo 1

O enunciado dá uma função polinomial de quarto grau
f(x) = (a+2b+c)x^4 \;+\;(a+b+c)x^3 \;-\;(a-b)x^2 \;+\;(2a-b+c)x \;+\;2(a+c)
com a,b,c\in\mathbb{R}, e diz que f é par, ou seja,
f(-x) = f(x)\quad\forall x.
Para que um polinômio seja par, todos os coeficientes dos termos de grau ímpar devem ser zero (pois em f(-x) esses sinais se inverteriam).

Passo 2

Identificamos os coeficientes dos termos de grau ímpar em f(x):
– grau 3: (a+b+c),
– grau 1: (2a - b + c).
Como f é par, impomos
a + b + c = 0,
2a - b + c = 0.

Passo 3

Resolvendo o sistema
\begin{cases} a + b + c = 0,\\\\ 2a - b + c = 0, \end{cases}
subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos
(2a - b + c) - (a + b + c) = 0 - 0 \;\Longrightarrow\; a - 2b = 0 \;\Longrightarrow\; a = 2b.
Substituindo a=2b em a + b + c = 0, vem
2b + b + c = 0 \;\Longrightarrow\; c = -3b.

Passo 4

O coeficiente líder de f (grau 4) é
a + 2b + c.
Com a=2b e c=-3b isso vira
a + 2b + c = 2b + 2b - 3b = b.
Como o enunciado afirma que f é de quarto grau, esse coeficiente não pode ser zero. Logo
b \neq 0.

Resposta

b \neq 0

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