Questão (3(2,5)). Calcule os limites, caso existam, nos pontos indicados:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+3 x-10}{3 x^{2}-5 x-2}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to2}\frac{x^{2}+3x-10}{3x^{2}-5x-2}.
O conteúdo aqui é limite de função racional que, ao substituir x=2, gera uma indeterminação do tipo 0/0. Para resolver, vamos usar fatoração para cancelar o fator que anula numerador e denominador.

Passo 2

Verificamos o valor direto em x=2. No numerador:
2^{2}+3\cdot2-10 = 4+6-10 = 0.
No denominador:
3\cdot2^{2}-5\cdot2-2 = 12-10-2 = 0.
Logo, temos o tipo indeterminado 0/0.

Passo 3

Fatoramos o numerador x^{2}+3x-10. Procuramos dois números cujo produto seja -10 e soma seja 3. Esses números são 5 e -2. Assim,
x^{2}+3x-10 = (x+5)(x-2).

Passo 4

Fatoramos o denominador 3x^{2}-5x-2. Usando a fórmula quadrática, as raízes são x=2 e x=-\tfrac{1}{3}, o que corresponde ao fatoramento
3x^{2}-5x-2 = (x-2)(3x+1).

Passo 5

Com isso, para x\neq2 podemos simplificar a fração:
\frac{x^{2}+3x-10}{3x^{2}-5x-2} = \frac{(x+5)(x-2)}{(x-2)(3x+1)} = \frac{x+5}{3x+1}.
Agora o limite passa a ser
\lim_{x\to2}\frac{x+5}{3x+1} = \frac{2+5}{3\cdot2+1} = \frac{7}{7} =1.

Resposta

1

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