Questão (3(2,5)). Calcule os limites, caso existam, nos pontos indicados:
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(t+h){2}-t{2}}{h}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{h\to 0}\frac{(t+h)^{2}-t^{2}}{h}
Este tipo de limite é o quociente de diferença de t^{2}, que corresponde à definição de derivada de f(t)=t^{2} em um ponto genérico t. Para resolver, vamos usar álgebra (expansão e fatoração) e, em seguida, propriedades básicas de limites.

Passo 2

Expandimos o numerador usando a identidade (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}:
(t+h)^{2}-t^{2} = \bigl(t^{2}+2th+h^{2}\bigr)-t^{2} =2th+h^{2}.

Passo 3

Substituímos essa expressão no quociente e fatoramos h no numerador:
\frac{(t+h)^{2}-t^{2}}{h} =\frac{2th+h^{2}}{h} =\frac{h\,(2t+h)}{h} =2t+h,\quad h\neq 0.

Passo 4

Agora aplicamos o limite em h\to 0. Como 2t é constante em relação a h e \lim_{h\to0}h=0, temos
\lim_{h\to0}(2t+h)=2t+0=2t.

Passo 5

O limite existe para todo t\in\mathbb{R} e o resultado é 2t.

Resposta

\lim_{h\to 0}\frac{(t+h)^{2}-t^{2}}{h}=2t.

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