Seja a função
.
a) Represente-a graficamente.
b) Determine por integração a área entre a curva e o eixo x , para o intervalo
.
a) Represente-a graficamente.
b) Determine por integração a área entre a curva e o eixo x , para o intervalo
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Representá-la graficamente.
- (b) Determinar, por integração, a área entre a curva
e o eixo no intervalo .
Informações relevantes que já temos:
definida para
reais; o intervalo de interesse para a área é
. Não há outros dados a serem obtidos.
Passo 2
Como representar graficamente
— instrução passo a passo simples para você desenhar na prova:
- Marque os eixos
e e escolha uma escala (por exemplo, cada unidade no e no com a mesma distância). - Faça uma tabela de pontos fáceis para plotar:
, , , , , .
Todos esses pontos são obtidos substituindoem . - Coloque esses pontos no plano e ligue-os com uma curva suave. A curva é uma parábola com:
- vértice em
(o ponto mais baixo), - concavidade voltada para cima,
- eixo de simetria a reta
.
- vértice em
- Observações úteis para a prova: a curva passa por
, é simétrica em relação ao eixo , e cresce mais rápido à medida que aumenta porque cresce quadráticamente.
Passo 3
O que significa “área entre a curva e o eixo
” e por que usamos integração:
- A área pedida é a região limitada acima pela curva
, abaixo pelo eixo , e verticalmente pelas retas e . - Intuitivamente, podemos aproximar essa área somando áreas de retângulos sob a curva (soma de Riemann). Quando fazemos retângulos cada vez mais finos, a soma tende a um limite: esse limite é a integral definida.
- Formalmente, a área
é dada por
Aqui
significa o limite das somas de Riemann de
em
. A integral definida dá a área algébrica; como
em
, essa integral coincide com a área geométrica.
Passo 4
Como calcular a integral: o Teorema Fundamental do Cálculo (versão prática)
- O Teorema Fundamental do Cálculo diz que, se
é uma primitiva (antiderivada) de — isto é, — então
- Portanto, para calcular
precisamos encontrar uma primitiva de .
Passo 5
Regra da potência para primitiva (a fórmula e por quê)
- A regra geral: para
,
Explicação rápida: derivando
obtemos
logo
é uma primitiva de
.
2. Aplicando com , uma primitiva de
é
2. Aplicando com
Passo 6
Calcule a integral definida usando a primitiva encontrada:
- Usando o Teorema Fundamental do Cálculo e
,
- Compute
e :
- Portanto
Passo 7
Interpretação do resultado e checagem rápida
- O valor
é a área geométrica da região limitada pela parábola , pelo eixo e pelas retas e . - Checagem grosseira por estimativa: a altura máxima da região em
é . A área de um retângulo é ; a parábola ocupa bem menos que isso; nosso valor está em escala plausível. Outro check: a média aproximada da função em é , e faz sentido como área média vezes largura.
Resposta
(a) Gráfico: a parábola
com vértice em
, eixo de simetria
, passando por
,
,
(concavidade para cima).
(b)
(b)