Seja a função f(x)=x^{2}.
a) Represente-a graficamente.
b) Determine por integração a área entre a curva e o eixo x , para o intervalo \mathrm{x} \in[0,3].

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2} e pede duas coisas:
  1. (a) Representá-la graficamente.
  2. (b) Determinar, por integração, a área entre a curva y=f(x)=x^{2} e o eixo x no intervalo [0,3].
Informações relevantes que já temos:
\,f(x)=x^{2} definida para x reais; o intervalo de interesse para a área é [0,3]. Não há outros dados a serem obtidos.

Passo 2

Como representar graficamente f(x)=x^{2} — instrução passo a passo simples para você desenhar na prova:
  1. Marque os eixos x e y e escolha uma escala (por exemplo, cada unidade no x e no y com a mesma distância).
  2. Faça uma tabela de pontos fáceis para plotar:
    (0,0), (1,1), (2,4), (3,9), (-1,1), (-2,4).
    Todos esses pontos são obtidos substituindo x em \,f(x)=x^{2}.
  3. Coloque esses pontos no plano e ligue-os com uma curva suave. A curva é uma parábola com:
    • vértice em (0,0) (o ponto mais baixo),
    • concavidade voltada para cima,
    • eixo de simetria a reta x=0.
  4. Observações úteis para a prova: a curva passa por (0,0), é simétrica em relação ao eixo y, e cresce mais rápido à medida que x aumenta porque x^{2} cresce quadráticamente.

Passo 3

O que significa “área entre a curva e o eixo x” e por que usamos integração:
  1. A área pedida é a região limitada acima pela curva y=x^{2}, abaixo pelo eixo x, e verticalmente pelas retas x=0 e x=3.
  2. Intuitivamente, podemos aproximar essa área somando áreas de retângulos sob a curva (soma de Riemann). Quando fazemos retângulos cada vez mais finos, a soma tende a um limite: esse limite é a integral definida.
  3. Formalmente, a área A é dada por
A=\int_{0}^{3} x^{2}\,dx.
Aqui \int_{0}^{3} x^{2}\,dx significa o limite das somas de Riemann de x^{2} em [0,3]. A integral definida dá a área algébrica; como x^{2}\ge 0 em [0,3], essa integral coincide com a área geométrica.

Passo 4

Como calcular a integral: o Teorema Fundamental do Cálculo (versão prática)
  1. O Teorema Fundamental do Cálculo diz que, se F é uma primitiva (antiderivada) de f — isto é, F'(x)=f(x) — então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
  1. Portanto, para calcular \int_{0}^{3} x^{2}\,dx precisamos encontrar uma primitiva de x^{2}.

Passo 5

Regra da potência para primitiva (a fórmula e por quê)
  1. A regra geral: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Explicação rápida: derivando \frac{x^{n+1}}{n+1} obtemos
\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)' = \frac{n+1}{n+1}x^{n} = x^{n},
logo \frac{x^{n+1}}{n+1} é uma primitiva de x^{n}.
2. Aplicando com n=2, uma primitiva de x^{2} é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}.

Passo 6

Calcule a integral definida usando a primitiva encontrada:
  1. Usando o Teorema Fundamental do Cálculo e F(x)=\dfrac{x^{3}}{3},
\int_{0}^{3} x^{2}\,dx = F(3)-F(0).
  1. Compute F(3) e F(0):
F(3)=\frac{3^{3}}{3}=\frac{27}{3}=9,
F(0)=\frac{0^{3}}{3}=0.
  1. Portanto
\int_{0}^{3} x^{2}\,dx = 9-0 = 9.

Passo 7

Interpretação do resultado e checagem rápida
  1. O valor 9 é a área geométrica da região limitada pela parábola y=x^{2}, pelo eixo x e pelas retas x=0 e x=3.
  2. Checagem grosseira por estimativa: a altura máxima da região em x=3 é y=9. A área de um retângulo 3\times9 é 27; a parábola ocupa bem menos que isso; nosso valor 9 está em escala plausível. Outro check: a média aproximada da função em [0,3] é \frac{1}{3}\int_{0}^{3} x^{2}\,dx=\frac{9}{3}=3, e 3\times 3=9 faz sentido como área média vezes largura.

Resposta

(a) Gráfico: a parábola f(x)=x^{2} com vértice em (0,0), eixo de simetria x=0, passando por (1,1), (2,4), (3,9) (concavidade para cima).
(b) \displaystyle 9

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