Seja a função f(x)=2 x+1.
a) Represente-a graficamente.
b) Determine por integração a área entre a curva e o eixo x , para o intervalo \mathrm{x} \in[0,2].

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=2x+1 e pede duas coisas:
  • (a) representar graficamente a função;
  • (b) determinar, por integração, a área entre a curva y=f(x) e o eixo x no intervalo [0,2].
Informações relevantes fornecidas:
\;f(x)=2x+1;\ \ intervalo para a área: [0,2].

Passo 2

Entender a forma da função: f(x)=2x+1 é uma reta (função afim) da forma geral \;y=mx+b, onde:
  • \;m é a inclinação (slope) da reta — indica quanto y sobe quando x aumenta de uma unidade;
  • \;b é o coeficiente linear — o ponto onde a reta cruza o eixo y (intercepto em y).
Aqui, comparando com \;y=mx+b, temos \;m=2 e \;b=1.
  • Isto significa que, para cada aumento de 1 em x, y aumenta em \;2.
  • O intercepto em y é \;f(0)=1, ou seja, a reta passa por (0,1).
    Encontrar o intercepto em x: resolver \;2x+1=0:
2x+1=0 \quad\Rightarrow\quad 2x=-1 \quad\Rightarrow\quad x=-\tfrac{1}{2}.
Logo a reta cruza o eixo x em \;(-\tfrac{1}{2},0).

Passo 3

Montar uma pequena tabela de pontos para desenhar a reta (especialmente no intervalo pedido [0,2]):
Calcule f(x) em alguns valores:
\begin{aligned} f(0)&=2\cdot 0+1=1\quad\Rightarrow\quad(0,1),\\\ f(1)&=2\cdot 1+1=3\quad\Rightarrow\quad(1,3),\\\ f(2)&=2\cdot 2+1=5\quad\Rightarrow\quad(2,5). \end{aligned}
Esses três pontos são suficientes para traçar a reta: (0,1), (1,3), (2,5). A reta passa também por (-\tfrac{1}{2},0) (x-intercept).

Passo 4

Instruções para representar graficamente (passo a passo prático, sem figura):
  1. Desenhe um sistema de eixos x horizontal e y vertical. Marque uma escala uniforme (por exemplo, cada quadradinho vale 1 em x e 1 em y).
  2. Plote os pontos (0,1), (1,3) e (2,5).
  3. Trace uma linha reta passando por esses pontos — como é uma reta, os três pontos ficarão colineares.
  4. Opcional: marque também (-\tfrac{1}{2},0) para ver onde a reta cruza o eixo x.
    Visualmente, a reta sobe à direita (inclinação positiva m=2), intercepta o eixo y em 1 e, no intervalo [0,2], a função toma valores positivos entre 1 e 5.

Passo 5

Explicar por que podemos usar a integral para obter a área: quando a função f(x) está acima do eixo x em [0,2], a área entre a curva e o eixo x no intervalo [0,2] é dada pela integral definida
\text{Área}=\int_{0}^{2} f(x)\,dx.Á
Verificação de que f(x)\ge 0 em [0,2]: já calculamos f(0)=1>0 e f(2)=5>0; sendo f uma reta crescente, todos os valores entre 0 e 2 são positivos. Logo a integral diretamente mede a área (sem precisar separar sinais).

Passo 6

Calcular a integral passo a passo.
  1. Escrevemos a integral:
\int_{0}^{2} (2x+1)\,dx.
  1. Use a regra linear da integração: \int (2x+1)\,dx=\int 2x\,dx+\int 1\,dx.
  2. Calcule cada parte:
  • \displaystyle \int 2x\,dx = 2\cdot\int x\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2}=x^{2}. (Aqui usamos que \int x\,dx=\tfrac{x^{2}}{2}.)
  • \displaystyle \int 1\,dx = x.
  1. Portanto um antiderivado (primitiva) é
F(x)=x^{2}+x.
  1. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é F(2)-F(0). Calcule:
F(2)=2^{2}+2=4+2=6,
F(0)=0^{2}+0=0.
  1. Logo
\int_{0}^{2} (2x+1)\,dx = 6-0=6.

Passo 7

Confirmação geométrica (intuição extra, útil na prova): a região sob a reta entre x=0 e x=2 é um trapézio com bases verticais f(0)=1 e f(2)=5 e altura (no sentido horizontal) igual a 2. A fórmula da área do trapézio dá
\text{Área} = \frac{(\text{base}_1+\text{base}_2)}{2}\cdot(\text{altura}) = \frac{1+5}{2}\cdot 2 = 6,Á
o que confirma o resultado da integral.

Resposta

(a) Reta de equação y=2x+1 que passa por (0,1), (1,3) e (2,5) e cruza o eixo x em (-\tfrac{1}{2},0).\n(b) Área =6.

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