Seja a função
.
a) Represente-a graficamente.
b) Determine por integração a área entre a curva e o eixo x , para o intervalo
.
a) Represente-a graficamente.
b) Determine por integração a área entre a curva e o eixo x , para o intervalo
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) representar graficamente a função;
- (b) determinar, por integração, a área entre a curva
e o eixo no intervalo .
Informações relevantes fornecidas:
;\ \ intervalo para a área:
.
Passo 2
Entender a forma da função:
é uma reta (função afim) da forma geral
, onde:
-
é a inclinação (slope) da reta — indica quanto sobe quando aumenta de uma unidade; -
é o coeficiente linear — o ponto onde a reta cruza o eixo (intercepto em ).
Aqui, comparando com
, temos
e
.
- Isto significa que, para cada aumento de
em , aumenta em . - O intercepto em
é , ou seja, a reta passa por .
Encontrar o intercepto em: resolver :
Logo a reta cruza o eixo
em
.
Passo 3
Montar uma pequena tabela de pontos para desenhar a reta (especialmente no intervalo pedido
):
Calcule em alguns valores:
Calcule
Esses três pontos são suficientes para traçar a reta:
,
,
. A reta passa também por
(x-intercept).
Passo 4
Instruções para representar graficamente (passo a passo prático, sem figura):
- Desenhe um sistema de eixos
horizontal e vertical. Marque uma escala uniforme (por exemplo, cada quadradinho vale em e em ). - Plote os pontos
, e . - Trace uma linha reta passando por esses pontos — como é uma reta, os três pontos ficarão colineares.
- Opcional: marque também
para ver onde a reta cruza o eixo .
Visualmente, a reta sobe à direita (inclinação positiva), intercepta o eixo em e, no intervalo , a função toma valores positivos entre e .
Passo 5
Explicar por que podemos usar a integral para obter a área: quando a função
está acima do eixo
em
, a área entre a curva e o eixo
no intervalo
é dada pela integral definida
Verificação de que
em
: já calculamos
e
; sendo
uma reta crescente, todos os valores entre
e
são positivos. Logo a integral diretamente mede a área (sem precisar separar sinais).
Passo 6
Calcular a integral passo a passo.
- Escrevemos a integral:
- Use a regra linear da integração:
. - Calcule cada parte:
-
(Aqui usamos que .) -
- Portanto um antiderivado (primitiva) é
- Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é
. Calcule:
- Logo
Passo 7
Confirmação geométrica (intuição extra, útil na prova): a região sob a reta entre
e
é um trapézio com bases verticais
e
e altura (no sentido horizontal) igual a
. A fórmula da área do trapézio dá
o que confirma o resultado da integral.
Resposta
(a) Reta de equação
que passa por
,
e
e cruza o eixo
em
.\n(b) Área
.