Seja a função f(x)=x.
a) Represente-a graficamente.
b) Determine por integração a área entre a curva e o eixo x , para o intervalo \mathrm{x} \in[0,4].

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=x\, e pede duas coisas:
a) Representar graficamente a função.
b) Determinar, por integração, a área entre a curva e o eixo x no intervalo \,x\in[0,4]\,.
Informações relevantes fornecidas:
\,f(x)=x\, (reta cuja altura é igual à abscissa).
Intervalo para a área: \,[0,4].

Passo 2

Entendendo o que significa “representar graficamente”: precisamos desenhar o gráfico da reta que fornece, para cada x, o valor y=f(x)=x. Características importantes desta reta que você deve marcar no desenho:
  • Passa pela origem: (0,0).
  • Tem inclinação 1 (ou seja, sobe 1 unidade em y para cada 1 unidade em x).
  • Alguns pontos fáceis para plotar: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4).
    Instruções para esboçar: desenhe os eixos x e y, marque os pontos acima e una-os por uma reta. A reta é a bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes (ângulo de 45^\circ com o eixo x).

Passo 3

O que significa "área entre a curva e o eixo x" no intervalo [0,4]: é a região limitada pela curva y=f(x), pelo eixo x e pelas retas verticais x=0 e x=4. Quando f(x)\ge 0 no intervalo, essa área é exatamente a integral definida
\int_{0}^{4} f(x)\,dx.
Aqui, a variável x é a coordena horizontal, f(x) é a altura da curva sobre cada x, e dx indica que estamos somando (“integrando”) as áreas de retângulos infinitesimais de largura dx e altura f(x).

Passo 4

Aplicando a definição ao nosso caso: como f(x)=x, a área pedida é a integral
\int_{0}^{4} x\,dx.
Explicação do integrando: para cada x entre 0 e 4, a altura do retângulo é x. Somando esses retângulos infinitesimais obtemos a área total.

Passo 5

Para calcular a integral, usamos a regra de primitivas (antiderivadas) para potências:
Se g(x)=x^{n} com n\neq -1, uma primitiva é
G(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}.
No nosso caso n=1, então uma primitiva de x é
F(x)=\frac{x^{2}}{2}.
Observação: primitivas têm uma constante C, ou seja F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}+C, mas para integral definida a constante cancela quando fazemos a diferença entre extremos.

Passo 6

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo (a integral definida é F(b)-F(a) para F primitiva de f):
\int_{0}^{4} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{4} = \frac{4^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}.
Calcule os termos:
\frac{4^{2}}{2}=\frac{16}{2}=8,
\frac{0^{2}}{2}=0.
Portanto
\int_{0}^{4} x\,dx = 8.

Passo 7

Verificação geométrica (chega como checagem rápida e intuitiva): a região entre y=x e o eixo x em [0,4] é um triângulo retângulo com base 4 (de x=0 a x=4) e altura 4 (pois em x=4 temos y=4). A área do triângulo é
\text{Área}=\frac{\text{base}\times\text{altura}}{2}=\frac{4\times 4}{2}=8,Á
confirmando o resultado da integração.

Resposta

a) Gráfico: reta y=x passando por (0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4) com inclinação 1.
b) 8

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