Seja a função f(x, y)=x^3-3 x y^2, quais das seguintes alternativas estão corretas em relação ao gradiente de f? partial fpartial x=3 x^2-3 y^2
partial fpartial y=-6 x y
O gradiente de f no ponto (1,1) é =(0,6)
O gradiente de f no ponto (0,2) é =(-12,2)
partial fpartial x=3 x y
Escolha uma opção:a. Somente III e IVb. Somente II e IVc. Somente I e IVd. Somente Ve. Somente I e II

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a função $ f(x, y) = x^{3} - 3xy^{2} $ e pede para a gente verificar quais das alternativas sobre o gradiente dessa função estão corretas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular as derivadas parciais dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando mudamos uma variável enquanto mantemos a outra constante.
  • Derivada parcial em relação a $ x $:
    f
  • Derivada parcial em relação a $ y $:
    x
Então, temos:
y

Passo 3

Agora, vamos analisar cada uma das alternativas fornecidas na questão usando as derivadas que calculamos.
  1. Alternativa I: $ \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^{2} - 3y^{2} $
    • Isso está correto, igual ao que calculamos.
  2. Alternativa II: $ \frac{\partial f}{\partial y} = -6xy $
    • Também está correto, conforme nossa derivação.
  3. Alternativa III: O gradiente de $ f $ no ponto $ (1,1) $ é $ (0,6) $
    • Vamos calcular o gradiente nesse ponto: partial fpartial x = 3x^2 - 3y^2
    • A alternativa diz $ (0,6) $, mas o correto é $ (0,-6) $. Incorreto
  4. Alternativa IV: O gradiente de $ f $ no ponto $ (0,2) $ é $ (-12,2) $
    • Vamos calcular: partial fpartial y = -6xy
    • A alternativa diz $ (-12,2) $, mas o correto é $ (-12,0) $. Incorreto
  5. Alternativa V: $ \frac{\partial f}{\partial x} = 3xy $
    • Comparando com o que calculamos: f
    • Incorreto

Passo 4

Resumindo:
  • Alternativas I e II estão corretas.
  • Alternativas III, IV e V estão incorretas.

Resposta

e. Somente I e II

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