Seja a função
, quais das seguintes alternativas estão corretas em relação ao gradiente de f?
O gradiente de f no ponto
é
O gradiente de f no ponto
é
Escolha uma opção:a. Somente III e IVb. Somente II e IVc. Somente I e IVd. Somente Ve. Somente I e II
O gradiente de f no ponto
O gradiente de f no ponto
Escolha uma opção:a. Somente III e IVb. Somente II e IVc. Somente I e IVd. Somente Ve. Somente I e II
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a função $ f(x, y) = x^{3} - 3xy^{2} $ e pede para a gente verificar quais das alternativas sobre o gradiente dessa função estão corretas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular as derivadas parciais dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando mudamos uma variável enquanto mantemos a outra constante.
-
Derivada parcial em relação a $ x $:
-
Derivada parcial em relação a $ y $:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada uma das alternativas fornecidas na questão usando as derivadas que calculamos.
-
Alternativa I: $ \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^{2} - 3y^{2} $
- Isso está correto, igual ao que calculamos.
-
Alternativa II: $ \frac{\partial f}{\partial y} = -6xy $
- Também está correto, conforme nossa derivação.
-
Alternativa III: O gradiente de $ f $ no ponto $ (1,1) $ é $ (0,6) $
- Vamos calcular o gradiente nesse ponto:
- A alternativa diz $ (0,6) $, mas o correto é $ (0,-6) $. Incorreto
- Vamos calcular o gradiente nesse ponto:
-
Alternativa IV: O gradiente de $ f $ no ponto $ (0,2) $ é $ (-12,2) $
- Vamos calcular:
- A alternativa diz $ (-12,2) $, mas o correto é $ (-12,0) $. Incorreto
- Vamos calcular:
-
Alternativa V: $ \frac{\partial f}{\partial x} = 3xy $
- Comparando com o que calculamos:
- Incorreto
- Comparando com o que calculamos:
Passo 4
Resumindo:
- Alternativas I e II estão corretas.
- Alternativas III, IV e V estão incorretas.
Resposta
e. Somente I e II