Resolva, em \mathbb{R}, as inequações:
2(x+3)<-2(3 x+1)

Passo 1

O que o enunciado pede: resolver, em \mathbb{R}, a inequação
2(x+3)<-2(3x+1).
Informações dadas:
  • A incógnita é x e ela é um número real.
  • Temos uma única inequação linear envolvendo parênteses.
  • É preciso encontrar todos os valores reais de x que tornam verdadeira a desigualdade acima.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: eliminar os parênteses usando a propriedade distributiva. A propriedade distributiva diz que, para quaisquer números a,b,c,
a(b+c)=ab+ac.
Aplicando-a ao primeiro membro:
2(x+3)=2\cdot x+2\cdot 3=2x+6.
Aplicando-a ao segundo membro (atenção ao sinal negativo em frente ao 2):
-2(3x+1)=-2\cdot 3x + -2\cdot 1=-6x-2.
Portanto a inequação fica
2x+6< -6x-2.

Passo 3

Agora vamos agrupar os termos com x de um lado e os termos constantes do outro. Uma regra importante: adicionar ou subtrair o mesmo número em ambos os membros preserva a desigualdade. Vou somar 6x em ambos os lados para eliminar o -6x do lado direito:
2x+6 + 6x < -6x-2 + 6x.
Isso simplifica para
8x+6 < -2.

Passo 4

Em seguida, isolar a parte com x subtraindo 6 de ambos os lados (novamente isso preserva a desigualdade):
8x+6 - 6 < -2 - 6,
ou seja
8x < -8.

Passo 5

Agora precisamos obter x sozinho. Dividimos ambos os lados por 8. Regra essencial: ao multiplicar ou dividir ambos os lados de uma desigualdade por um número positivo, a direção da desigualdade não muda; se for por um número negativo, a desigualdade inverte. Aqui dividimos por 8>0, então a desigualdade mantém o sentido:
\frac{8x}{8} < \frac{-8}{8},
logo
x < -1.
Como verificação rápida: escolher um valor menor que -1, por exemplo x=-2. Substituindo na inequação original:
2(-2+3)=2\cdot 1=2
e
-2(3(-2)+1)=-2(-6+1)=-2(-5)=10,
e realmente 2<10 é verdade. Escolhendo um valor maior que -1, por exemplo x=0: 2(0+3)=6 e -2(0+1)=-2, e 6<-2 é falso. Isso confirma que a solução faz sentido.

Passo 6

Apresentação da solução em forma de conjunto e em forma de intervalo:
  • Conjunto solução: \{x\in\mathbb{R}\mid x<-1\}.
  • Intervalo: (-\infty,-1).

Resposta

x<-1
(-\infty,-1)

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