Seja a função vetorial: f(t)=\left(t^{2}, \frac{8-t^{3}}{4-t^{2}}, \ln t\right)
encontre o limite da função quando t \rightarrow 2.

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial
f(t)=\left(t^{2},\; \frac{8-t^{3}}{4-t^{2}},\; \ln t\right)
e pede o limite de f(t) quando t \rightarrow 2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função tem três componentes (uma função vetorial em \mathbb{R}^3).
  • O que se pede é \displaystyle\lim_{t\to 2} f(t).
  • Ao substituir t=2 diretamente:
    • a primeira componente dá 2^{2};
    • a segunda componente dá \dfrac{8-2^{3}}{4-2^{2}}=\dfrac{0}{0} (indeterminação);
    • a terceira componente dá \ln 2.
  • A indeterminação na segunda componente indica que precisaremos manipular algebricamente essa fração antes de avaliar o limite.

Passo 2

Conceito e regra que vamos usar (explicação didática):
  • Para uma função vetorial com componentes f(t)=(f_1(t),f_2(t),f_3(t)), vale a regra
\lim_{t\to a} f(t)=\left(\lim_{t\to a} f_1(t),\; \lim_{t\to a} f_2(t),\; \lim_{t\to a} f_3(t)\right),
desde que cada limite componente exista (finito). Ou seja: o limite de um vetor é o vetor dos limites das componentes.
  • Explicando de forma leve: dá para estudar cada componente separadamente; se todas têm limite, juntamos os resultados.
  • Também usamos que polinômios são funções contínuas (podemos simplesmente substituir t por 2 quando não há indeterminação) e que \ln t é contínua no ponto t=2 (logo \lim_{t\to2}\ln t=\ln 2).

Passo 3

Calcular o limite da primeira componente:
  • A primeira componente é f_1(t)=t^{2}.
  • Polinômios são contínuos, então
\lim_{t\to 2} t^{2}=2^{2}=4.
  • Explicação rápida: como não há problema de divisão por zero nem indeterminação, basta substituir.

Passo 4

Tratar a segunda componente (aquela com indeterminação):
  • A segunda componente é f_2(t)=\dfrac{8-t^{3}}{4-t^{2}}.
  • Substituindo t=2 obtivemos \dfrac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Em vez de aplicar diretamente regras mais avançadas, vamos simplificar algebricamente cancelando um fator comum.
  • Use a fatoração de diferença de cubos e diferença de quadrados. Lembrando as identidades:
    • diferença de cubos: a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2});
    • diferença de quadrados: a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
  • Identificando 8-t^{3}=2^{3}-t^{3}, aplicamos diferença de cubos com a=2 e b=t:
8-t^{3}=(2-t)\bigl(2^{2}+2\cdot t+t^{2}\bigr)=(2-t)(4+2t+t^{2}).
  • Para o denominador 4-t^{2}=2^{2}-t^{2} usamos diferença de quadrados:
4-t^{2}=(2-t)(2+t).
  • Agora reescrevemos f_2(t) para t\neq 2 (onde as fatorações são válidas e o cancelamento é permitido):
\frac{8-t^{3}}{4-t^{2}}=\frac{(2-t)(4+2t+t^{2})}{(2-t)(2+t)}=\frac{4+2t+t^{2}}{2+t}.
  • Observação didática: o cancelamento do fator (2-t) é permitido para t\neq 2. Para avaliar o limite t\to 2 basta estudar a função simplificada, que coincide com a original em todos os pontos próximos de 2, exceto no próprio t=2.
  • Agora a função simplificada é contínua em t=2, então podemos substituir t=2:
\lim_{t\to 2}\frac{8-t^{3}}{4-t^{2}}=\lim_{t\to 2}\frac{4+2t+t^{2}}{2+t}=\frac{4+2\cdot 2+2^{2}}{2+2}=\frac{4+4+4}{4}=\frac{12}{4}=3.

Passo 5

Calcular o limite da terceira componente:
  • A terceira componente é f_3(t)=\ln t.
  • A função logarítmica natural é contínua para t>0. Como 2>0,
\lim_{t\to 2}\ln t=\ln 2.
  • Sem indeterminação, basta substituir.

Passo 6

Conclusão final (juntando os limites das componentes):
  • Encontramos
    • \displaystyle\lim_{t\to 2} t^{2}=4,
    • \displaystyle\lim_{t\to 2} \dfrac{8-t^{3}}{4-t^{2}}=3,
    • \displaystyle\lim_{t\to 2}\ln t=\ln 2.
  • Pelo teorema do passo 2, o limite da função vetorial existe e é o vetor formado por esses limites (respondo formalmente na seção de resposta abaixo).

Resposta

\left(4,\,3,\,\ln 2\right)

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