Seja a função vetorial:
encontre o limite da função quando
.
encontre o limite da função quando
Passo 1
O enunciado nos dá a função vetorial
e pede o limite de
quando
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função tem três componentes (uma função vetorial em
). - O que se pede é
. - Ao substituir
diretamente: - a primeira componente dá
; - a segunda componente dá
(indeterminação); - a terceira componente dá
.
- a primeira componente dá
- A indeterminação na segunda componente indica que precisaremos manipular algebricamente essa fração antes de avaliar o limite.
Passo 2
Conceito e regra que vamos usar (explicação didática):
- Para uma função vetorial com componentes
, vale a regra
desde que cada limite componente exista (finito). Ou seja: o limite de um vetor é o vetor dos limites das componentes.
- Explicando de forma leve: dá para estudar cada componente separadamente; se todas têm limite, juntamos os resultados.
- Também usamos que polinômios são funções contínuas (podemos simplesmente substituir
por quando não há indeterminação) e que é contínua no ponto (logo ).
Passo 3
Calcular o limite da primeira componente:
- A primeira componente é
. - Polinômios são contínuos, então
- Explicação rápida: como não há problema de divisão por zero nem indeterminação, basta substituir.
Passo 4
Tratar a segunda componente (aquela com indeterminação):
- A segunda componente é
. - Substituindo
obtivemos , que é uma forma indeterminada. Em vez de aplicar diretamente regras mais avançadas, vamos simplificar algebricamente cancelando um fator comum. - Use a fatoração de diferença de cubos e diferença de quadrados. Lembrando as identidades:
- diferença de cubos:
; - diferença de quadrados:
.
- diferença de cubos:
- Identificando
, aplicamos diferença de cubos com e :
- Para o denominador
usamos diferença de quadrados:
- Agora reescrevemos
para (onde as fatorações são válidas e o cancelamento é permitido):
- Observação didática: o cancelamento do fator
é permitido para . Para avaliar o limite basta estudar a função simplificada, que coincide com a original em todos os pontos próximos de , exceto no próprio . - Agora a função simplificada é contínua em
, então podemos substituir :
Passo 5
Calcular o limite da terceira componente:
- A terceira componente é
. - A função logarítmica natural é contínua para
. Como ,
- Sem indeterminação, basta substituir.
Passo 6
Conclusão final (juntando os limites das componentes):
- Encontramos
-
, -
, -
.
-
- Pelo teorema do passo 2, o limite da função vetorial existe e é o vetor formado por esses limites (respondo formalmente na seção de resposta abaixo).