(2.0 pontos) Seja a funçäo
g(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{x^{2}+x-6}{|x-2|} & \text { se } x \neq 2 \\\\ 0 & \text { se } x=2 \end{array}\right.
a) Analisar a continuidade de g \mathrm{em} \quad x=2. Justifique sua resposta.
b) Eshoçar o gráfico de g.

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
g(x)=\begin{cases} \dfrac{x^{2}+x-6}{|x-2|}, & \text{se } x\neq 2,\\[6pt] 0, & \text{se } x=2. \end{cases}
As perguntas pedem:
  • (a) analisar a continuidade de g em x=2 e justificar;
  • (b) esboçar o gráfico de g.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão para x\neq 2 envolve um valor absoluto |x-2|.
  • O valor da função em x=2 é g(2)=0.
  • Para decidir continuidade em x=2 precisaremos comparar g(2) com os limites laterais \lim_{x\to2^-}g(x) e \lim_{x\to2^+}g(x).]

Passo 2

Primeiro passo algébrico: fatorar o numerador [x^{2}+x-6). Isso ajuda muito porque frequentemente uma expressão do tipo \dfrac{\text{polinômio}}{|x-a|}ô pode simplificar.
Fatorando o quadrático:
x^{2}+x-6=(x-2)(x+3).
Logo, para x\neq 2 podemos escrever
g(x)=\frac{(x-2)(x+3)}{|x-2|}.
Explicação didática curta sobre valor absoluto: para qualquer t,
|t|=\begin{cases} t, & t\ge 0,\\\\ -t, & t<0. \end{cases}
No nosso caso t=x-2\]. Assim o quociente \(\dfrac{x-2}{|x-2|} é simplesmente a função sinal de x-2: vale 1 se x>2 e vale -1 se x<2. Isso é útil para calcular limites laterais.

Passo 3

Usando a ideia anterior, para x>2 temos |x-2|=x-2, então
g(x)=\frac{(x-2)(x+3)}{x-2}=x+3\qquad\text{(para }x>2\text{)}.
Para x<2 temos |x-2|=-(x-2)=2-x, então
g(x)=\frac{(x-2)(x+3)}{-(x-2)}=-(x+3)\qquad\text{(para }x<2\text{)}.
Recapitulando em forma de função mais simples (válida fora de x=2):
g(x)=\begin{cases} -(x+3), & x<2,\\[4pt] x+3, & x>2. \end{cases}]

Passo 4

Calcular os limites laterais em x=2 usando as expressões lineares encontradas.
Limite pela esquerda:
\lim_{x\to2^-}g(x)=\lim_{x\to2^-}\bigl(-(x+3)\bigr)=-(2+3)=-5.
Limite pela direita:
\lim_{x\to2^+}g(x)=\lim_{x\to2^+}(x+3)=2+3=5.
Como \lim_{x\to2^-}g(x)=-5 e \lim_{x\to2^+}g(x)=5, os limites laterais existem mas são diferentes. Portanto o limite \lim_{x\to2}g(x) não existe.

Passo 5

Concluir sobre continuidade em x=2. Definição prática: g é contínua em x=2 se e somente se \lim_{x\to2}g(x) existe e é igual a g(2).
  • Aqui \lim_{x\to2}g(x) não existe (porque as duas laterais dão valores distintos).
  • Além disso g(2)=0 (dado), que não coincide com os valores laterais -5 e 5.
Logo g não é contínua em x=2. Tipo de descontinuidade: é uma descontinuidade do tipo salto (jump), pois os limites laterais são finitos mas distintos.

Passo 6

Análise detalhada para esboçar o gráfico (como desenhar na prova, passo a passo):
  • Para x<2 a função é a reta
    g(x)=-(x+3)=-x-3.
    Essa reta tem coeficiente angular -1 e intercepto em y=-3. Exemplos de pontos: g(0)=-3, g(1)=-4. Ao aproximar x de 2 pela esquerda, a reta tende ao ponto \bigl(2,-5\bigr).
  • Para x>2 a função é a reta
    g(x)=x+3,
    com coeficiente angular 1 e intercepto y=3. Exemplos: g(0)=3 (isso não vale, atenção: lembrar que a expressão x+3 só vale para x>2, então pontos com x\le2 não usam essa expressão), mas para x=3 tem g(3)=6. Ao aproximar x de 2 pela direita, a reta tende ao ponto \bigl(2,5\bigr).
  • Em x=2 a função está definida como g(2)=0. Portanto no gráfico coloque um ponto preenchido em \bigl(2,0\bigr).
  • Como as expressões para x<2 e x>2 não atribuem valor em x=2, nos pontos \bigl(2,-5\bigr) e \bigl(2,5\bigr) deve-se colocar círculos abertos (pontos não pertencentes ao gráfico). Assim teremos:
    • linha reta y=-x-3 para x<2, chegando a um círculo aberto em \bigl(2,-5\bigr);
    • linha reta y=x+3 para x>2, começando com um círculo aberto em \bigl(2,5\bigr);
    • ponto sólido em \bigl(2,0\bigr).
Observação prática para desenhar: trace as duas retas em toda a sua extensão (cada uma apenas para o lado indicado), marque os círculos abertos em \bigl(2,-5\bigr) e \bigl(2,5\bigr) e um ponto sólido em \bigl(2,0\bigr). Isso mostra claramente o salto e o valor definido diferente.

Passo 7

Resumo numérico útil (para conferir rápido):
\lim_{x\to2^-}g(x)=-5,\qquad \lim_{x\to2^+}g(x)=5,\qquad g(2)=0.
Portanto há descontinuidade por salto em x=2.

Resposta

a) g não é contínua em x=2. \displaystyle \lim_{x\to2^-}g(x)=-5,\\ \lim_{x\to2^+}g(x)=5 e g(2)=0 (descontinuidade por salto).
b) Para x<2, g(x)=-x-3 (reta, limite em x=2^- igual a -5); para x>2, g(x)=x+3 (reta, limite em x=2^+ igual a 5). No gráfico: círculos abertos em \bigl(2,-5\bigr) e \bigl(2,5\bigr) e ponto sólido em \bigl(2,0\bigr).

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