Seja U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\} o conjunto universo.
Encontre o conjunto G sabendo que G \cup B=\{1,5,6,7,8\}, G \cap B=\{1,6\} e B=\{1,6,8\}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o conjunto G sabendo três informações. Vou listar claramente o que foi dado:
  • O universo é U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}.
  • Foi informado que B=\{1,6,8\}. (Peguei este dado do enunciado.)
  • Foi informado que G\cup B=\{1,5,6,7,8\}.
  • Foi informado que G\cap B=\{1,6\}.
    As perguntas são: qual é o conjunto G que satisfaz essas três condições simultaneamente?

Passo 2

Entendendo as operações (uma mini-aula):
  • A união X\cup Y de dois conjuntos é o conjunto de todos os elementos que pertencem a X ou a Y (ou a ambos). Por exemplo, \{a,b\}\cup\{b,c\}=\{a,b,c\}.
  • A interseção X\cap Y é o conjunto dos elementos comuns a X e Y. Por exemplo, \{a,b\}\cap\{b,c\}=\{b\}.
Aplicando isso aqui: G\cap B=\{1,6\} significa que os elementos que G tem em comum com B são exatamente 1 e 6. Como B=\{1,6,8\}, disso segue duas coisas imediatas:
  • 1\in G e 6\in G (porque aparecem na interseção).
  • 8\notin G. Se 8 estivesse em G, então 8 estaria também em G\cap B (já que 8\in B), mas a interseção dada não contém 8. Logo 8\notin G.

Passo 3

Agora uso a união: G\cup B=\{1,5,6,7,8\}. Sabendo que B=\{1,6,8\}, comparemos os elementos da união com os de B:
  • A união já contém 1,6,8 porque B os possui.
  • A união contém também 5 e 7. Como B NÃO contém 5 nem 7 (verifique B=\{1,6,8\}), então esses elementos só podem vir de G. Portanto é necessário que 5\in G e 7\in G.

Passo 4

Resumindo as restrições que já encontramos:
  • Devemos ter 1\in G e 6\in G (da interseção).
  • Devemos ter 5\in G e 7\in G (para formar a união).
  • Não podemos ter 8\in G (pois a interseção não tem 8).
    Além disso, G não pode conter nenhum elemento além dos que aparecem em G\cup B=\{1,5,6,7,8\}, porque se G tivesse um elemento fora dessa união a união resultante seria maior do que a dada — isso seria contraditório. Portanto todos os elementos de G devem estar em \{1,5,6,7,8\}, e já vimos que 8\notin G. Assim G\subseteq\{1,5,6,7\}.
Como precisamos que 1,6,5,7 estejam em G, concluímos que
G=\{1,5,6,7\}.

Passo 5

Verificação final (checando que a solução satisfaz todas as condições):
  • Interseção: G\cap B=\{1,5,6,7\}\cap\{1,6,8\}=\{1,6\}, que bate com o enunciado.
  • União: G\cup B=\{1,5,6,7\}\cup\{1,6,8\}=\{1,5,6,7,8\}, que também bate com o enunciado.
    Portanto a solução é consistente e única.

Resposta

\{1,5,6,7\}

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