Seja
o conjunto universo.
Encontre o conjunto
sabendo que
e
.
Encontre o conjunto
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o conjunto
sabendo três informações. Vou listar claramente o que foi dado:
- O universo é
. - Foi informado que
. (Peguei este dado do enunciado.) - Foi informado que
. - Foi informado que
.
As perguntas são: qual é o conjuntoque satisfaz essas três condições simultaneamente?
Passo 2
Entendendo as operações (uma mini-aula):
- A união
de dois conjuntos é o conjunto de todos os elementos que pertencem a ou a (ou a ambos). Por exemplo, . - A interseção
é o conjunto dos elementos comuns a e . Por exemplo, .
Aplicando isso aqui:
significa que os elementos que
tem em comum com
são exatamente
e
. Como
, disso segue duas coisas imediatas:
-
e (porque aparecem na interseção). -
. Se estivesse em , então estaria também em (já que ), mas a interseção dada não contém . Logo .
Passo 3
Agora uso a união:
. Sabendo que
, comparemos os elementos da união com os de
:
- A união já contém
porque os possui. - A união contém também
e . Como NÃO contém nem (verifique ), então esses elementos só podem vir de . Portanto é necessário que e .
Passo 4
Resumindo as restrições que já encontramos:
- Devemos ter
e (da interseção). - Devemos ter
e (para formar a união). - Não podemos ter
(pois a interseção não tem ).
Além disso,não pode conter nenhum elemento além dos que aparecem em , porque se tivesse um elemento fora dessa união a união resultante seria maior do que a dada — isso seria contraditório. Portanto todos os elementos de devem estar em , e já vimos que . Assim .
Como precisamos que
estejam em
, concluímos que
Passo 5
Verificação final (checando que a solução satisfaz todas as condições):
- Interseção:
, que bate com o enunciado. - União:
, que também bate com o enunciado.
Portanto a solução é consistente e única.