Seja G um grupo. G diz-se cíclico se \exists x \in G tal que G=\langle x\rangle, e o elemento x chama-se um gerador de G. Prove que;
\mathbb{Z}_{p}=\{\overline{0}, \overline{1}, \ldots, \overline{p-1}\},+ com p primo é um grupo cíclico tendo \overline{1}, \overline{2}, \ldots, \overline{p-1} como geradores.

Passo 1

O enunciado dá o grupo \mathbb{Z}_{p}=\{\overline{0},\overline{1},\ldots,\overline{p-1}\} com a adição módulo p, onde p é um número primo. Pede-se para provar duas coisas:
  • que \mathbb{Z}_{p} é um grupo cíclico (ou seja, existe algum x\in\mathbb{Z}_p tal que \mathbb{Z}_p=\langle x\rangle);
  • que os elementos \overline{1},\overline{2},\ldots,\overline{p-1} são geradores de \mathbb{Z}_p (cada um gera todo o grupo).
As informações relevantes fornecidas são:
  • o conjunto é \mathbb{Z}_p=\{\overline{0},\overline{1},\ldots,\overline{p-1}\};
  • a operação é a adição módulo p;
  • p é primo.

Passo 2

Vamos recordar o que significa “gerador” e “subgrupo gerado” num grupo aditivo, de modo claro e bem mastigado. Para um elemento x de um grupo aditivo G definimos
\langle x\rangle=\{n x : n\in\mathbb{Z}\},
onde n x significa x somado n vezes (se n for negativo, soma-se o inverso; se n=0, obtém-se 0). O elemento x é um gerador de G se \langle x\rangle=G. No caso de \mathbb{Z}_p a soma é tomada módulo p, e escrevemos n\overline{k}=\overline{n k} (reduzido módulo p).
Um jeito direto de mostrar que \overline{k} gera \mathbb{Z}_p é provar que os p elementos
\overline{0},\\ \overline{k},\\ \overline{2k},\\ \ldots,\\ \overline{(p-1)k}
são todos distintos; se são p distintos e \mathbb{Z}_p tem exatamente p elementos, então esse conjunto é todo \mathbb{Z}_p, logo \langle\overline{k}\rangle=\mathbb{Z}_p. Vou usar exatamente essa ideia.

Passo 3

Mostro primeiro que \overline{1} gera \mathbb{Z}_p. Para qualquer \overline{a}\in\mathbb{Z}_p (com a\in\{0,1,\dots,p-1\}) tem-se
\overline{a}=a\cdot\overline{1}.
Isto é imediato: somar \overline{1} a vezes dá \overline{a} (tudo tomado módulo p). Portanto \langle\overline{1}\rangle=\mathbb{Z}_p, ou seja, \mathbb{Z}_p é cíclico (já achámos um gerador: \overline{1}). Isso responde a parte do enunciado que pede provar que o grupo é cíclico.

Passo 4

Agora trato da afirmação mais rica: todo \overline{k} com 1\le k\le p-1 também é gerador. Considere o mapa
f:\{0,1,\dots,p-1\}\longrightarrow \mathbb{Z}_p,\qquad f(a)=\overline{a k}.
Mostrarei que f é injetora; como o domínio tem p elementos e o contradomínio \mathbb{Z}_p também tem p elementos, injetividade implica que f é bijetora e, portanto, os valores \overline{a k} ( a=0,\dots,p-1) percorrem todo \mathbb{Z}_p.
Prova da injetividade: suponha que para alguns a,b\in\{0,\dots,p-1\} vale f(a)=f(b). Então
\overline{a k}=\overline{b k}\quad\Longrightarrow\quad \overline{(a-b)k}=\overline{0}.
Isto significa que p divide (a-b)k, ou seja, p\mid (a-b)k. Como p é primo e 1\le k\le p-1, tem-se \gcd(k,p)=1, logo p\nmid k. Pelo fato básico da aritmética que diz: se p primo divide um produto e não divide um dos fatores, então divide o outro fator, segue que p\mid (a-b). Mas a-b é um inteiro com |a-b|\le p-1, portanto a única possibilidade para p dividir a-b é a-b=0. Concluímos a=b. Assim f é injetora.

Passo 5

Da injetividade segue que os p elementos \overline{0},\overline{k},\overline{2k},\ldots,\overline{(p-1)k} são todos distintos. Como \mathbb{Z}_p tem exatamente p elementos, esse conjunto tem de ser todo \mathbb{Z}_p. Em símbolos:
\langle\overline{k}\rangle=\{\overline{n k}:n\in\mathbb{Z}\}=\{\overline{0},\overline{k},\ldots,\overline{(p-1)k}\}=\mathbb{Z}_p.
Portanto qualquer \overline{k} com 1\le k\le p-1 é um gerador de \mathbb{Z}_p.
Observação enérgica e útil na prova: \overline{0} não é gerador, porque \langle\overline{0}\rangle=\{\overline{0}\} é só o elemento neutro. Então os únicos geradores possíveis são os elementos não nulos; acabámos de mostrar que todos os não nulos são, de facto, geradores.

Passo 6

Pequeno exemplo para fixar a ideia (sem perder a generalidade): para p=5, os múltiplos de \overline{2} são
\overline{0},\overline{2},\overline{4},\overline{6}=\overline{1},\overline{8}=\overline{3},
que são exatamente todos os resíduos \overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}. Logo \overline{2} gera \mathbb{Z}_5. O mesmo vale para \overline{1},\overline{3},\overline{4}.

Resposta

\mathbb{Z}_p é cíclico e \overline{1},\overline{2},\ldots,\overline{p-1} são geradores de \mathbb{Z}_p.

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