O colar de massa
desliza sobre o eixo horizontal rugoso sob a ação da força
de constante magnitude
, mas direção variável. Se
onde k é uma constante, e se o colar tem uma velocidade
para a direita quando
, determine a velocidade
do colar quando
atinge
. Também determine o valor de F que torna
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar a velocidade
do colar quando o ângulo atinge (começando com e velocidade inicial para a direita). - Determinar o valor da força
que faz .
Informações dadas (extraídas do enunciado e da figura):
- Massa do colar:
. - Força de módulo constante
aplicada por um braço que forma ângulo com a horizontal; a direção varia com o tempo. - Atrito cinético entre colar e superfície com coeficiente
(vejo esse na figura). - A componente vertical da força altera a normal; o enunciado afirma
(garante normal não-negativa). - Relação temporal do ângulo:
, com constante. - Velocidade inicial (quando
): (para a direita). - Queremos
quando (ou seja ).
Passo 2
Vamos entender as forças e como elas trocam energia com o colar (a ideia física que vamos usar).
A cada instante:
- A força aplicada tem componente horizontal
(empurra para a direita) e componente vertical (para cima). - A normal
do chão sobre o colar é reduzida pela componente vertical para cima, então
Aqui eu peguei o valor do coeficiente
e a presença da força inclinada da figura (ou seja, a figura mostra
, a força
e o ângulo
).
O atrito cinético tem módulo
e atua para a esquerda (opõe-se ao movimento para a direita).
Agora uma ferramenta muito útil: o teorema potência-energia/energia cinética (ou diretamente o teorema trabalho-energia). Em termos de potências instantâneas, a potência total entregue ao corpo é igual a
. Explico:
- Potência da força
: (porque o deslocamento é horizontal com velocidade ). - Potência do atrito:
(negativa, tira energia).
Somando,
E pelo princípio,
Como
enquanto o colar desliza para a direita, podemos dividir por
e obter uma equação para
. Esta abordagem evita ter de relacionar deslocamento com tempo diretamente: usamos as potências instantâneas.
Passo 3
Dividindo por
obtemos a equação diferencial simples para
:
Lembre que
. Substituindo:
Explicando cada termo:
-
é a componente horizontal da força . -
aparece com sinal positivo porque a componente vertical para cima reduz a normal e, ao entrar com menos normal, o termo vira . O é então um termo que ajuda o movimento (reduz o atrito). -
é a parte constante do atrito que sempre tende a retirar velocidade.
Passo 4
Integrar essa equação entre o instante inicial
(onde
e
) e o instante
onde
. Como
, temos
Integramos
para obter
:
Calculemos as integrais separadamente (tudo explícito):
-
.
Como, temos . Logo a integral vale . -
-
Substituindo:
Passo 5
Simplificando a expressão obtemos:
Ou, reescrevendo de forma talvez mais clara:
Essa é a velocidade do colar quando
atinge
.
Agora a segunda pergunta: queremos
. Assim o incremento de velocidade deve ser zero. Da expressão acima:
Multiplicando ambos os lados por
e isolando
:
Faz sentido físico: se
for exatamente esse valor, a energia fornecida pela componente horizontal mais a redução do atrito (devido à componente vertical) compensa exatamente o trabalho dissipado pelo atrito ao longo do processo
, resultando em nenhuma variação de velocidade.