O colar de massa m desliza sobre o eixo horizontal rugoso sob a ação da força F de constante magnitude F \leq m g, mas direção variável. Se \theta=k t onde k é uma constante, e se o colar tem uma velocidade \mathrm{v}_{1} para a direita quando \theta=0, determine a velocidade \mathrm{v}_{2} do colar quando \theta atinge 90^{\circ}. Também determine o valor de F que torna \mathrm{v}_{2}=\mathrm{v}_{1}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar a velocidade \,v_2 do colar quando o ângulo \theta atinge 90^\circ (começando com \theta=0 e velocidade inicial \,v_1 para a direita).
  • Determinar o valor da força F que faz \,v_2 = v_1.
Informações dadas (extraídas do enunciado e da figura):
  • Massa do colar: m.
  • Força de módulo constante F aplicada por um braço que forma ângulo \theta com a horizontal; a direção varia com o tempo.
  • Atrito cinético entre colar e superfície com coeficiente \mu_k (vejo esse \mu_k na figura).
  • A componente vertical da força altera a normal; o enunciado afirma F \le m g (garante normal não-negativa).
  • Relação temporal do ângulo: \theta = k t, com k constante.
  • Velocidade inicial (quando \theta=0): \,v_1 (para a direita).
  • Queremos \,v_2 quando \theta = 90^\circ (ou seja \theta = \tfrac{\pi}{2}).

Passo 2

Vamos entender as forças e como elas trocam energia com o colar (a ideia física que vamos usar).
A cada instante:
  • A força aplicada tem componente horizontal F\cos\theta (empurra para a direita) e componente vertical F\sin\theta (para cima).
  • A normal N do chão sobre o colar é reduzida pela componente vertical para cima, então
N = mg - F\sin\theta.
Aqui eu peguei o valor do coeficiente \mu_k e a presença da força inclinada da figura (ou seja, a figura mostra \mu_k, a força F e o ângulo \theta).
O atrito cinético tem módulo
f_k = \mu_k N = \mu_k\,(mg - F\sin\theta),
e atua para a esquerda (opõe-se ao movimento para a direita).
Agora uma ferramenta muito útil: o teorema potência-energia/energia cinética (ou diretamente o teorema trabalho-energia). Em termos de potências instantâneas, a potência total entregue ao corpo é igual a m v \dfrac{dv}{dt}. Explico:
  • Potência da força F: P_F = \vec F\cdot\vec v = F\cos\theta\; v (porque o deslocamento é horizontal com velocidade v).
  • Potência do atrito: P_{f} = -f_k\, v = -\mu_k (mg - F\sin\theta)\,v (negativa, tira energia).
    Somando,
\text{potência líquida} = F\cos\theta\; v - \mu_k (mg - F\sin\theta)\,v.êí
E pelo princípio,
m v \frac{dv}{dt} = F\cos\theta\; v - \mu_k (mg - F\sin\theta)\,v.
Como v>0 enquanto o colar desliza para a direita, podemos dividir por v e obter uma equação para dv/dt. Esta abordagem evita ter de relacionar deslocamento com tempo diretamente: usamos as potências instantâneas.

Passo 3

Dividindo por v obtemos a equação diferencial simples para v(t):
m\frac{dv}{dt} = F\cos\theta + \mu_k F\sin\theta - \mu_k m g.
Lembre que \theta = k t. Substituindo:
m\frac{dv}{dt} = F\cos(k t) + \mu_k F\sin(k t) - \mu_k m g.
Explicando cada termo:
  • F\cos(k t) é a componente horizontal da força F.
  • \mu_k F\sin(k t) aparece com sinal positivo porque a componente vertical para cima reduz a normal e, ao entrar com menos normal, o termo -\mu_k(mg - F\sin\theta) vira -\mu_k mg + \mu_k F\sin\theta. O \mu_k F\sin\theta é então um termo que ajuda o movimento (reduz o atrito).
  • -\mu_k m g é a parte constante do atrito que sempre tende a retirar velocidade.

Passo 4

Integrar essa equação entre o instante inicial t=0 (onde \theta=0 e v=v_1) e o instante t=T onde \theta=\tfrac{\pi}{2}. Como \theta=k t, temos
T=\frac{\pi/2}{k}=\frac{\pi}{2k}.
Integramos dv/dt para obter v_2-v_1:
v_2 - v_1 = \frac{1}{m}\int_{0}^{T}\!\bigl(F\cos(k t)+\mu_k F\sin(k t)-\mu_k m g\bigr)\,dt.
Calculemos as integrais separadamente (tudo explícito):
  • \displaystyle \int_{0}^{T}\cos(k t)\,dt = \left[\frac{1}{k}\sin(k t)\right]_0^{T} = \frac{1}{k}\sin(kT).
    Como kT = \tfrac{\pi}{2}, temos \sin(kT)=1. Logo a integral vale \dfrac{1}{k}.
  • \displaystyle \int_{0}^{T}\sin(k t)\,dt = \left[-\frac{1}{k}\cos(k t)\right]_0^{T} = -\frac{1}{k}\cos(kT)+\frac{1}{k}\cos(0) = -\frac{1}{k}\cdot 0 + \frac{1}{k}\cdot 1 = \frac{1}{k}.
  • \displaystyle \int_{0}^{T} dt = T = \frac{\pi}{2k}.
Substituindo:
v_2 - v_1 = \frac{1}{m}\Bigl(F\cdot\frac{1}{k} + \mu_k F\cdot\frac{1}{k} - \mu_k m g\cdot\frac{\pi}{2k}\Bigr).

Passo 5

Simplificando a expressão obtemos:
v_2 = v_1 + \frac{1}{m k}\bigl( (1+\mu_k)F \bigr) - \frac{\pi}{2k}\mu_k g.
Ou, reescrevendo de forma talvez mais clara:
\boxed{\,v_2 = v_1 + \dfrac{(1+\mu_k)F}{m k} - \dfrac{\pi\,\mu_k\,g}{2k}\,.}
Essa é a velocidade do colar quando \theta atinge 90^\circ.
Agora a segunda pergunta: queremos v_2 = v_1. Assim o incremento de velocidade deve ser zero. Da expressão acima:
\dfrac{(1+\mu_k)F}{m k} - \dfrac{\pi\,\mu_k\,g}{2k} = 0.
Multiplicando ambos os lados por m k e isolando F:
(1+\mu_k)F = \frac{\pi}{2}\mu_k m g
\boxed{\,F = \frac{\pi\,\mu_k\,m g}{2(1+\mu_k)}\,.}
Faz sentido físico: se F for exatamente esse valor, a energia fornecida pela componente horizontal mais a redução do atrito (devido à componente vertical) compensa exatamente o trabalho dissipado pelo atrito ao longo do processo \theta:0\to\pi/2, resultando em nenhuma variação de velocidade.

Resposta

\displaystyle v_2 = v_1 + \dfrac{(1+\mu_k)\,F}{m\,k} - \dfrac{\pi\,\mu_k\,g}{2k}
\displaystyle F = \dfrac{\pi\,\mu_k\,m g}{2(1+\mu_k)}

Exercícios relacionados