Seja R a relação definida em \mathbb{Q} da seguinte forma:
x R y \Leftrightarrow x-y \in \mathbb{Z} .
a) Mostre que R é uma relação de equivalência.
b) Descreva a classe de equivalência \overline{10} e \overline{100}.
c) Descreva a classe de equivalência \overline{0,5}
Passo 1
O enunciado nos dá uma relação R sobre o conjunto \mathbb{Q} (números racionais) definida por
x R y \Leftrightarrow x-y \in \mathbb{Z}.
As perguntas pedidas são:
(a) Mostrar que R é uma relação de equivalência (ou seja, verificar as três propriedades que definem uma equivalência).
(b) Descrever a classe de equivalência \overline{10} e a classe de equivalência \overline{100}.
(c) Descrever a classe de equivalência \overline{0,5}.
Informações relevantes dadas: o domínio é \mathbb{Q} e a condição de relação é que a diferença dos dois elementos pertença a \mathbb{Z} (o conjunto dos inteiros).
Passo 2
Definições e o que precisa ser mostrado (mini-aula).
Uma relação R em um conjunto A é chamada de relação de equivalência se satisfaz três propriedades:
Reflexiva: para todo x\in A tem-se xRx.
Simétrica: para todo x,y\in A, se xRy então yRx.
Transitiva: para todo x,y,z\in A, se xRy e yRz então xRz.
A classe de equivalência de um elemento a\in A (também chamada de conjunto de equivalência ou coclass) é
\overline{a}=\{x\in A \mid xRa\}.
Aqui x é uma variável que representa elementos do conjunto A, e \overline{a} é o conjunto de todos os x relacionados a a.
No nosso caso A=\mathbb{Q} e a relação é dada por xRy \iff x-y\in\mathbb{Z}. Para provar que R é equivalência vamos verificar as três propriedades usando propriedades básicas dos inteiros (fechamento sob adição, existência de zero, fechamento sob negativo).
Passo 3
Provar reflexividade.
O que se exige: provar que para todo x\in\mathbb{Q} vale xRx.
Cálculo/razonamento: para qualquer x\in\mathbb{Q} temos x-x=0. Sabemos que 0\in\mathbb{Z}. Portanto x-x\in\mathbb{Z}, e pela definição da relação segue xRx.
Conclusão: R é reflexiva.
Passo 4
Provar simetria.
O que se exige: provar que se xRy então yRx, para quaisquer x,y\in\mathbb{Q}.
Cálculo/razonamento: suponha xRy. Isso significa x-y\in\mathbb{Z}. Mas então y-x=-(x-y). Como os inteiros são fechados por multiplicação por -1 (ou seja, se k\in\mathbb{Z} então -k\in\mathbb{Z}), temos y-x\in\mathbb{Z}. Pela definição da relação, isto implica yRx.
Conclusão: R é simétrica.
Passo 5
Provar transitividade.
O que se exige: provar que se xRy e yRz então xRz, para quaisquer x,y,z\in\mathbb{Q}.
Cálculo/razonamento: suponha xRy e yRz. Então x-y\in\mathbb{Z} e y-z\in\mathbb{Z}. Como os inteiros são fechados sob adição, somando essas duas relações obtemos
(x-y)+(y-z)=x-z \in \mathbb{Z}.
Logo xRz pela definição da relação.
Conclusão: R é transitiva.
Passo 6
Conclusão da parte (a).
Já mostramos reflexividade, simetria e transitividade; portanto R é uma relação de equivalência em \mathbb{Q}.
Comentário adicional (intuição útil para prova e para a prova na prova): dois racionais x e y são “equivalentes” aqui quando têm a mesma parte fracionária — ou dito de outro modo, quando coincidem módulo 1. As classes de equivalência são os conjuntos de racionais que diferem por um inteiro.
Passo 7
Descrever \overline{10}.
Definição aplicada: por definição
Isto significa que qualquer elemento da classe tem a forma q=10+n para algum n\in\mathbb{Z}. Mas 10+n é sempre um inteiro (soma de inteiros), e variando n por todos os inteiros obtém-se precisamente o conjunto \mathbb{Z}. Em símbolos:
Observação: de fato \overline{10}=\overline{100} porque 100-10=90\in\mathbb{Z}, ou seja, 10R100, então duas classes de equivalência iguais sempre acontecem quando os representantes são relacionados.
Interpretação: são exatamente os racionais cuja parte fracionária vale 0,5. Em termos compactos:
\overline{0,5}=\{\,0,5+n : n\in\mathbb{Z}\,\}.
Nota: esta classe é diferente de \mathbb{Z}, pois seus elementos não são inteiros (exceto se por acaso 0,5+n fosse inteiro, o que não ocorre).
Passo 10
Resumo final e dica para a prova.
Mostrar que algo é relação de equivalência geralmente pede verificar reflexividade, simetria e transitividade diretamente, usando propriedades elementares dos conjuntos envolvidos (aqui \mathbb{Z} é fechado sob soma e negativo).
Para descrever classes é útil reescrever a condição x-a\in\mathbb{Z} como x=a+n com n\in\mathbb{Z}; isso já dá a descrição explícita das classes.
Força aí — com esse passo a passo fica tranquilo resolver variações parecidas na prova!
Resposta
(a) R é uma relação de equivalência.
(b) \overline{10}=\mathbb{Z} \overline{100}=\mathbb{Z}
(c) \overline{0,5}=\{\,0,5+n : n\in\mathbb{Z}\,\}=\{\dots,-1,5,\,-0,5,\;0,5,\;1,5,\;2,5,\dots\}