Seja
um grupo. Mostre que
não possui subgrupos próprios se, e somente se,
é um grupo cíclico finito de ordem um número primo
.
Passo 1
O enunciado pede para provar uma equivalência: mostrar que um grupo
não possui subgrupos próprios se, e somente se,
é um grupo cíclico finito de ordem um número primo
.
Informações e o que nos foi dado:
- Temos um grupo
arbitrário (sem hipótese inicial sobre finitude). - A condição a analisar é: “não possui subgrupos próprios”, isto é, não existe subgrupo
com . - O que devemos concluir (e também provar a recíproca) é que
é cíclico, tem ordem finita e essa ordem é um primo .
Observação útil (vai aparecer nos passos seguintes): vou usar conceitos como subgrupo gerado por um elemento, ordem de um elemento e o teorema de Lagrange. Vou explicar cada um quando aparecer.
Passo 2
Definições e fatos básicos que vamos usar (com explicação simples):
- Definição: para
, o subgrupo gerado por é . É o menor subgrupo de que contém .
Explicação intuitiva: pegue, olhe todas as potências ; isso sempre forma um subgrupo. - Ordem de um elemento
, denotada , é o menor inteiro positivo tal que , se existir; caso contrário diz-se que . - Fato:
é um subgrupo ciclico cujo tamanho é (se ) ou infinito (se ). - Teorema de Lagrange (versão usada): se
é finito e é subgrupo de , então divide . (Usarei isso na direção recíproca e também para mostrar que se não é primo então existem subgrupos próprios.)
Vou agora provar as duas implicações da equivalência.
Passo 3
Prova da direção “se
não possui subgrupos próprios então
é cíclico e
é primo” — começo: construção do gerador.
- Tome
tal que não há subgrupos próprios. - Se
(grupo trivial) então ele não tem subgrupos próprios. Mas a conclusão exigida no enunciado fala em ordem primo; como não é primo, a situação trivial é um caso especial. Para evitar discussões inúteis, vou assumir não trivial (isto é, existe com ); a mesma prova mostra que se se quer excluir o caso trivial, então o único tipo possível é o de ordem primo. (Nos exercícios de rotina costuma-se assumir não trivial; se for necessário, no final explicito o papel do caso trivial.) - Escolha
com . Considere . Isso é um subgrupo de . Como não tem subgrupos próprios, só pode ocorrer . Assim é gerado por , logo é cíclico.
Comentário didático: esse argumento é muito direto e útil — sempre que um grupo não admite subgrupos próprios, qualquer elemento não neutro gera todo o grupo.
Passo 4
Continuo a mesma direção: mostrar que
é finito.
- Sabemos agora que
para algum . - Se
, então é isomorfo a . Mas em (ou num cíclico infinito) existem muitos subgrupos próprios: por exemplo, para cada integer o conjunto é subgrupo próprio. Translating back, em um grupo cíclico infinito (com ) é um subgrupo próprio de . Logo, se , haveria subgrupos próprios, contradizendo a hipótese. - Portanto
. Assim é finito (pois tem ordem ).
Explicação curta: um cíclico infinito sempre tem subgrupos próprios gerados por potências
; por isso o nosso
não pode ser infinito.
Passo 5
Mostrar que a ordem de
é um número primo.
- Seja
(já sabemos que é finito). - Fato conhecido sobre grupos cíclicos (vou explicar): em um grupo cíclico de ordem
, para cada divisor de existe exatamente um subgrupo de ordem , e esse subgrupo é . Em particular, se for composto (ou seja, existem com ), então existe um subgrupo próprio de ordem .
Breve demonstração desse fato: secom e , então considere . Temos (pois , e se um divisor menor que anulasse isso entraria em contradição com ordem de ). O subgrupo tem ordem . - Aplicando esse fato: se
não fosse primo, tomar um divisor próprio com daria um subgrupo de ordem , ou seja, um subgrupo próprio. Mas por hipótese não existem subgrupos próprios. Logo tal não existe e deve ser primo. - Conclusão desta direção:
é cíclico, finito, e para algum primo .
Exemplo concreto para fixar:
(grupo cíclico de ordem
) tem subgrupos de ordem
e
; por isso um grupo de ordem composto não pode satisfazer a hipótese.
Passo 6
Prova da direção recíproca: se
é cíclico finito de ordem primo
, então
não possui subgrupos próprios.
- Seja
um grupo cíclico de ordem com primo. - Tome qualquer subgrupo
. Como é finito, pelo teorema de Lagrange divide . Os divisores de são apenas e . - Se
então ; se então . Não há outras possibilidades. - Portanto não existem subgrupos próprios distintos de
e ; em particular, se por “não possui subgrupos próprios” se entende “não possui subgrupos próprios não-triviais”, então estamos certos. Mais fortemente: além do trivial, não há nenhum subgrupo próprio. Logo a propriedade pedida está satisfeita.
Comentário didático: este é um uso direto e poderoso de Lagrange — em grupos finitos a ordem de qualquer subgrupo divide a ordem do grupo; quando a ordem do grupo é primo, só há duas divisões possíveis.
Passo 7
Resumo final do argumento (passo a passo da ideia, para decorar para a prova):
- Direção direta (hipótese → conclusão):
- Pegue
; é subgrupo, logo . Assim é cíclico. - Se
então existem subgrupos próprios ( ), contradizendo a hipótese; logo é finito. - Se
composto então há divisores próprios e um subgrupo de ordem , contradizendo a hipótese; logo é primo.
- Pegue
- Direção recíproca (conclusão → hipótese):
- Se
primo, qualquer subgrupo tem ordem que divide . - Assim
ou , logo não há subgrupos próprios além do trivial.
- Se
Dica prática para prova em prova de faculdade: comece escolhendo um elemento não-trivial e pense no subgrupo gerado por ele; esse passo quase sempre resolve problemas sobre existência de subgrupos. Depois use Lagrange para “fechar” a argumentação sobre ordens.