Seja G um grupo. Mostre que G não possui subgrupos próprios se, e somente se, G é um grupo cíclico finito de ordem um número primo p.

Passo 1

O enunciado pede para provar uma equivalência: mostrar que um grupo G não possui subgrupos próprios se, e somente se, G é um grupo cíclico finito de ordem um número primo p.
Informações e o que nos foi dado:
  • Temos um grupo G arbitrário (sem hipótese inicial sobre finitude).
  • A condição a analisar é: “não possui subgrupos próprios”, isto é, não existe subgrupo H com H\subsetneq G.
  • O que devemos concluir (e também provar a recíproca) é que G é cíclico, tem ordem finita e essa ordem é um primo p.
Observação útil (vai aparecer nos passos seguintes): vou usar conceitos como subgrupo gerado por um elemento, ordem de um elemento e o teorema de Lagrange. Vou explicar cada um quando aparecer.

Passo 2

Definições e fatos básicos que vamos usar (com explicação simples):
  • Definição: para a\in G, o subgrupo gerado por a é \langle a\rangle=\{a^n : n\in\mathbb{Z}\}. É o menor subgrupo de G que contém a.
    Explicação intuitiva: pegue a, olhe todas as potências a,a^2,a^{-1},\ldots; isso sempre forma um subgrupo.
  • Ordem de um elemento a, denotada |a|, é o menor inteiro positivo m tal que a^m=e, se existir; caso contrário diz-se que |a|=\infty.
  • Fato: \langle a\rangle é um subgrupo ciclico cujo tamanho é |a| (se |a|<\infty) ou infinito (se |a|=\infty).
  • Teorema de Lagrange (versão usada): se G é finito e H é subgrupo de G, então |H| divide |G|. (Usarei isso na direção recíproca e também para mostrar que se |G| não é primo então existem subgrupos próprios.)
Vou agora provar as duas implicações da equivalência.

Passo 3

Prova da direção “se G não possui subgrupos próprios então G é cíclico e |G| é primo” — começo: construção do gerador.
  • Tome G tal que não há subgrupos próprios.
  • Se G=\{e\} (grupo trivial) então ele não tem subgrupos próprios. Mas a conclusão exigida no enunciado fala em ordem primo; como 1 não é primo, a situação trivial é um caso especial. Para evitar discussões inúteis, vou assumir G não trivial (isto é, existe a\in G com a\neq e); a mesma prova mostra que se se quer excluir o caso trivial, então o único tipo possível é o de ordem primo. (Nos exercícios de rotina costuma-se assumir G não trivial; se for necessário, no final explicito o papel do caso trivial.)
  • Escolha a\in G com a\neq e. Considere \langle a\rangle. Isso é um subgrupo de G. Como G não tem subgrupos próprios, só pode ocorrer \langle a\rangle=G. Assim G é gerado por a, logo G é cíclico.
Comentário didático: esse argumento é muito direto e útil — sempre que um grupo não admite subgrupos próprios, qualquer elemento não neutro gera todo o grupo.

Passo 4

Continuo a mesma direção: mostrar que G é finito.
  • Sabemos agora que G=\langle a\rangle para algum a\neq e.
  • Se |a|=\infty, então \langle a\rangle é isomorfo a (\mathbb{Z},+). Mas em \mathbb{Z} (ou num cíclico infinito) existem muitos subgrupos próprios: por exemplo, para cada integer n\ge2 o conjunto n\mathbb{Z} é subgrupo próprio. Translating back, em um grupo cíclico infinito \langle a^n\rangle (com n\ge2) é um subgrupo próprio de \langle a\rangle. Logo, se |a|=\infty, haveria subgrupos próprios, contradizendo a hipótese.
  • Portanto |a|<\infty. Assim G é finito (pois G=\langle a\rangle tem ordem |a|).
Explicação curta: um cíclico infinito sempre tem subgrupos próprios gerados por potências a^n; por isso o nosso G não pode ser infinito.

Passo 5

Mostrar que a ordem de G é um número primo.
  • Seja n=|G| (já sabemos que n é finito).
  • Fato conhecido sobre grupos cíclicos (vou explicar): em um grupo cíclico de ordem n, para cada divisor d de n existe exatamente um subgrupo de ordem d, e esse subgrupo é \langle a^{n/d}\rangle. Em particular, se n for composto (ou seja, existem 1<d<n com d\mid n), então existe um subgrupo próprio de ordem d.
    Breve demonstração desse fato: se G=\langle a\rangle com |a|=n e d\mid n, então considere b=a^{n/d}. Temos |b|=d (pois (a^{n/d})^d=a^n=e, e se um divisor menor que d anulasse b isso entraria em contradição com ordem de a). O subgrupo \langle b\rangle tem ordem d.
  • Aplicando esse fato: se n não fosse primo, tomar um divisor próprio d com 1<d<n daria um subgrupo de ordem d, ou seja, um subgrupo próprio. Mas por hipótese não existem subgrupos próprios. Logo tal d não existe e n deve ser primo.
  • Conclusão desta direção: G é cíclico, finito, e |G|=p para algum primo p.
Exemplo concreto para fixar: C_6 (grupo cíclico de ordem 6) tem subgrupos de ordem 2 e 3; por isso um grupo de ordem composto não pode satisfazer a hipótese.

Passo 6

Prova da direção recíproca: se G é cíclico finito de ordem primo p, então G não possui subgrupos próprios.
  • Seja G um grupo cíclico de ordem p com p primo.
  • Tome qualquer subgrupo H\le G. Como G é finito, pelo teorema de Lagrange |H| divide |G|=p. Os divisores de p são apenas 1 e p.
  • Se |H|=1 então H=\{e\}; se |H|=p então H=G. Não há outras possibilidades.
  • Portanto não existem subgrupos próprios distintos de \{e\} e G; em particular, se por “não possui subgrupos próprios” se entende “não possui subgrupos próprios não-triviais”, então estamos certos. Mais fortemente: além do trivial, não há nenhum subgrupo próprio. Logo a propriedade pedida está satisfeita.
Comentário didático: este é um uso direto e poderoso de Lagrange — em grupos finitos a ordem de qualquer subgrupo divide a ordem do grupo; quando a ordem do grupo é primo, só há duas divisões possíveis.

Passo 7

Resumo final do argumento (passo a passo da ideia, para decorar para a prova):
  • Direção direta (hipótese → conclusão):
    1. Pegue a\neq e; \langle a\rangle é subgrupo, logo \langle a\rangle=G. Assim G é cíclico.
    2. Se |a|=\infty então existem subgrupos próprios \langle a^n\rangle ( n\ge2), contradizendo a hipótese; logo |a| é finito.
    3. Se |G|=n composto então há divisores próprios d e um subgrupo de ordem d, contradizendo a hipótese; logo n é primo.
  • Direção recíproca (conclusão → hipótese):
    1. Se |G|=p primo, qualquer subgrupo H tem ordem que divide p.
    2. Assim |H|=1 ou |H|=p, logo não há subgrupos próprios além do trivial.
Dica prática para prova em prova de faculdade: comece escolhendo um elemento não-trivial e pense no subgrupo gerado por ele; esse passo quase sempre resolve problemas sobre existência de subgrupos. Depois use Lagrange para “fechar” a argumentação sobre ordens.

Resposta

G é um grupo cíclico finito de ordem p, com p primo.

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