Seja
um grupo de ordem 8. Mostre que
não pode ter um subgrupo de ordem 6 .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
- Dado:
é um grupo finito com . - Pergunta: mostrar que
não pode ter um subgrupo de ordem . Ou seja, provar que não existe com .
Passo 2
Definições e notação que usarei (explicadas com calma).
- Um subconjunto
é subgrupo (escreve-se ) se contém o elemento neutro, é fechado sob o produto e contém inversos. O número de elementos de chama‑se ordem de e escreve‑se . - Para
e , o coset à esquerda de por é o conjunto
Vou usar propriedades elementares de cosets para chegar a uma relação entre
e
.
Passo 3
Propriedade: todos os cosets à esquerda têm o mesmo número de elementos que
.
Explicação detalhada e prova curta: fixar . Considere a aplicação
Explicação detalhada e prova curta: fixar
Mostre que
é bijetora.
- Injetiva: se
então . Multiplicando à esquerda por obtém‑se . - Sobrejetiva: por definição, cada elemento de
é da forma com , logo é imagem de algum .
Portantoé bijeção e, em particular, .
(Isto vale para todo.)
Passo 4
Propriedade: os cosets à esquerda de
particionam
.
Explicação: cada pertence ao coset
. Se dois cosets
e
têm interseção não vazia, então são iguais — prova: se existe
, escreva
. Então
, e a partir daí mostra‑se
. Assim os cosets são disjuntos ou idênticos, cobrindo todo
.
Explicação: cada
Passo 5
Conclusão importante (Teorema de Lagrange, com prova curta a partir das propriedades anteriores):
- Os cosets disjuntos e de mesmo tamanho
particionam . Sejam os cosets distintos (esse chama‑se índice de em , escrevemos ). Então
Expliquei o porquê:
é união disjunta de
conjuntos cada um com
elementos.
Passo 6
Aplicação numérica ao problema.
- Suponha, para contradizer, que exista
com . - Pela fórmula de Lagrange teríamos
Substituindo os valores dados,
e
, obtém‑se
- Isso implica
mas
é o número de cosets distintos, logo deve ser um inteiro positivo. Obter
é impossível. Portanto a hipótese
leva a contradição.
Passo 7
Comentário pedagógico e exemplo concreto para fixar a ideia (reforço do que usar na prova).
- A conclusão geral: em qualquer grupo finito
, a ordem de qualquer subgrupo divide a ordem de . Por isso, se , os possíveis tamanhos de subgrupos são divisores de , isto é, . - Exemplo: no grupo cíclico
os subgrupos têm exatamente essas ordens: o subgrupo gerado por tem ordem , por tem ordem , por tem ordem , e inteiro tem ordem . Note como sempre os tamanhos dividem .
Passo 8
Resumo final do raciocínio (sem repetir a resposta final textual; este passo apenas organiza mentalmente).
- A razão essencial é: os cosets de um subgrupo particionam
em blocos todos do mesmo tamanho , daí deve ser múltiplo de . Como não divide , não há como ter subgrupo de ordem .
Resposta
Não existe
com
; isto é,
não pode ter subgrupo de ordem
.