Seja G um grupo de ordem 8. Mostre que G não pode ter um subgrupo de ordem 6 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Dado: G é um grupo finito com |G|=8.
  • Pergunta: mostrar que G não pode ter um subgrupo de ordem 6. Ou seja, provar que não existe H\le G com |H|=6.

Passo 2

Definições e notação que usarei (explicadas com calma).
  • Um subconjunto H\subseteq G é subgrupo (escreve-se H\le G) se contém o elemento neutro, é fechado sob o produto e contém inversos. O número de elementos de H chama‑se ordem de H e escreve‑se |H|.
  • Para a\in G e H\le G, o coset à esquerda de H por a é o conjunto
aH=\{ah \mid h\in H\}.
Vou usar propriedades elementares de cosets para chegar a uma relação entre |G| e |H|.

Passo 3

Propriedade: todos os cosets à esquerda têm o mesmo número de elementos que H.
Explicação detalhada e prova curta: fixar a\in G. Considere a aplicação
\phi_a: H\to aH,\qquad \phi_a(h)=ah.
Mostre que \phi_a é bijetora.
  • Injetiva: se \phi_a(h_1)=\phi_a(h_2) então ah_1=ah_2. Multiplicando à esquerda por a^{-1} obtém‑se h_1=h_2.
  • Sobrejetiva: por definição, cada elemento de aH é da forma ah com h\in H, logo é imagem de algum h.
    Portanto \phi_a é bijeção e, em particular, |aH|=|H|.
    (Isto vale para todo a\in G.)

Passo 4

Propriedade: os cosets à esquerda de H particionam G.
Explicação: cada g\in G pertence ao coset gH. Se dois cosets aH e bH têm interseção não vazia, então são iguais — prova: se existe x\in aH\cap bH, escreva x=ah_1=bh_2. Então a=b(h_2h_1^{-1})\in bH, e a partir daí mostra‑se aH=bH. Assim os cosets são disjuntos ou idênticos, cobrindo todo G.

Passo 5

Conclusão importante (Teorema de Lagrange, com prova curta a partir das propriedades anteriores):
  • Os cosets disjuntos e de mesmo tamanho |H| particionam G. Sejam m os cosets distintos (esse m chama‑se índice de H em G, escrevemos [G:H]=m). Então
|G| = [G:H]\cdot |H|.
Expliquei o porquê: G é união disjunta de m conjuntos cada um com |H| elementos.

Passo 6

Aplicação numérica ao problema.
  • Suponha, para contradizer, que exista H\le G com |H|=6.
  • Pela fórmula de Lagrange teríamos
|G| = [G:H]\cdot |H|.
Substituindo os valores dados, |G|=8 e |H|=6, obtém‑se
8 = [G:H]\cdot 6.
  • Isso implica
[G:H]=\frac{8}{6}=\frac{4}{3},
mas [G:H] é o número de cosets distintos, logo deve ser um inteiro positivo. Obter \tfrac{4}{3} é impossível. Portanto a hipótese |H|=6 leva a contradição.

Passo 7

Comentário pedagógico e exemplo concreto para fixar a ideia (reforço do que usar na prova).
  • A conclusão geral: em qualquer grupo finito G, a ordem de qualquer subgrupo divide a ordem de G. Por isso, se |G|=8, os possíveis tamanhos de subgrupos são divisores de 8, isto é, 1,2,4,8.
  • Exemplo: no grupo cíclico \mathbb{Z}_8 os subgrupos têm exatamente essas ordens: o subgrupo gerado por \overline{0} tem ordem 1, por \overline{4} tem ordem 2, por \overline{2} tem ordem 4, e \mathbb{Z}_8 inteiro tem ordem 8. Note como sempre os tamanhos dividem 8.

Passo 8

Resumo final do raciocínio (sem repetir a resposta final textual; este passo apenas organiza mentalmente).
  • A razão essencial é: os cosets de um subgrupo particionam G em blocos todos do mesmo tamanho |H|, daí |G| deve ser múltiplo de |H|. Como 6 não divide 8, não há como ter subgrupo de ordem 6.

Resposta

Não existe H\le G com |H|=6; isto é, G não pode ter subgrupo de ordem 6.

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