Seja g(x)=f\left(x^{2}\right), onde f é duas vezes derivável para todo x, f^{\prime}(x)>0 para todo x \neq 0 e f é côncava para baixo em (-\infty, 0) e côncava para cima em (0, \infty).
(a) Em que números g tem um valor extremo?
(b) Discuta a concavidade de g.

Passo 1

O enunciado define
g(x)=f\bigl(x^2\bigr),
onde f é duas vezes derivável em \mathbb{R}, satisfaz f'(x)>0 para todo x\neq0, e é côncava para baixo em (-\infty,0) (logo f''(x)<0 para x<0) e côncava para cima em (0,\infty) (logo f''(x)>0 para x>0).
Precisamos (a) achar os pontos de extremo de g e (b) discutir a concavidade de g.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira de g usando regra da cadeia:
g'(x) = \frac{d}{dx}\bigl[f(x^2)\bigr] = f'\bigl(x^2\bigr)\cdot2x.
Para encontrar extremos, igualamos a zero:
g'(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x\,f'(x^2)=0.
Como f'(x^2)>0 sempre que x\neq0, a única solução é x=0.

Passo 3

Para classificar o ponto crítico x=0, vamos ao critério da segunda derivada. Primeiro encontramos g''(x):
g''(x) = \frac{d}{dx}\bigl[2x\,f'(x^2)\bigr] = 2\,f'(x^2) + 2x\cdot \bigl(2x\,f''(x^2)\bigr) = 2\,f'(x^2) + 4x^2\,f''(x^2).
Em x=0 isso dá
g''(0) = 2\,f'(0).
Supondo f'(0)\ge0 (pela continuidade de f' e f'(x)>0 fora de zero) temos g''(0)>0. Logo g tem um mínimo local em x=0.

Passo 4

Agora analisamos a concavidade para x\neq0. Note que para qualquer x\neq0 vale x^2>0, e pelo enunciado f'(x^2)>0 e f''(x^2)>0. Assim,
g''(x) = 2\,f'(x^2) + 4x^2\,f''(x^2) >0 + 0 =0^+,
portanto g''(x)>0 para todo x\neq0. Combinando com g''(0)>0, concluímos que g é côncava para cima em toda a reta real.

Resposta

(a) g tem único extremo em x=0, que é um mínimo local (de fato global).
(b) g é côncava para cima (convexa) para todo x\in\mathbb{R}.

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