Seja
, onde
é duas vezes derivável para todo
,
para todo
e
é côncava para baixo em
e côncava para cima em
.
(a) Em que números
tem um valor extremo?
(b) Discuta a concavidade de
.
(a) Em que números
(b) Discuta a concavidade de
Passo 1
O enunciado define
onde
é duas vezes derivável em
, satisfaz
para todo
, e é côncava para baixo em
(logo
para
) e côncava para cima em
(logo
para
).
Precisamos (a) achar os pontos de extremo de e (b) discutir a concavidade de
.
Precisamos (a) achar os pontos de extremo de
Passo 2
Calculamos a derivada primeira de
usando regra da cadeia:
Para encontrar extremos, igualamos a zero:
Como
sempre que
, a única solução é
Passo 3
Para classificar o ponto crítico
, vamos ao critério da segunda derivada. Primeiro encontramos
:
Em
isso dá
Supondo
(pela continuidade de
e
fora de zero) temos
. Logo
tem um mínimo local em
.
Passo 4
Agora analisamos a concavidade para
. Note que para qualquer
vale
, e pelo enunciado
e
. Assim,
portanto
para todo
. Combinando com
, concluímos que
é côncava para cima em toda a reta real.
Resposta
(a)
tem único extremo em
, que é um mínimo local (de fato global).
(b) é côncava para cima (convexa) para todo
.
(b)