Para que valores das constantes a e b,(1,3) é um ponto de inflexăo da curva y=a x^{3}+b x^{2} ?

Passo 1

O enunciado nos dá a cúbica y = a x^{3} + b x^{2} e pede os valores de a e b tais que (1,3) seja ponto de inflexão. Para isso precisamos garantir duas coisas:
  1. O ponto (1,3) pertence à curva.
  2. A segunda derivada y'' se anula em x=1.

Passo 2

Para que (1,3) esteja na curva, substituímos x=1 e y=3 em y = a x^{3} + b x^{2}. Isso dá 3 = a\cdot1^{3} + b\cdot1^{2},
ou seja, a + b = 3.

Passo 3

Calculamos as derivadas de y: \,y' = 3a x^{2} + 2b x e \,y'' = 6a x + 2b.
Para ponto de inflexão em x=1, impomos y''(1)=0, ou seja, 6a + 2b = 0,
que simplifica para 3a + b = 0.

Passo 4

Resolvendo o sistema \begin{cases} a + b = 3,\\\\ 3a + b = 0, \end{cases}
subtraímos a segunda equação da primeira: (3a + b) - (a + b) = 0 - 3 implica 2a = -3, logo a = -\tfrac{3}{2}.
Substituindo em a + b = 3 vem b = 3 - a = 3 + \tfrac{3}{2} = \tfrac{9}{2}.

Resposta

a = -\tfrac{3}{2},\quad b = \tfrac{9}{2}.

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