Seja
.
Determine as curvas de nível:
e
Determine as curvas de nível:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado nos dá a função
e pede para determinarmos as curvas de nível
e
.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com curvas de nível, que são curvas no plano onde a função assume um valor constante. Elas são úteis para visualizar funções de duas variáveis.
O que vamos precisar: Vamos usar o conceito de curvas de nível e resolver equações para encontrar as expressões dessas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Para uma função
, a curva de nível
é definida por:
Ou seja, fixamos um valor
e resolvemos a equação para
e
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função
. Para cada curva de nível
, temos:
Vamos resolver essa equação para
e
.
Passo 4
Primeiro, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Agora, vamos rearranjar a equação para isolarmos
:
Passo 5
A equação
representa uma circunferência com raio igual a
e centro na origem (0,0).
Então, para cada
, a curva de nível
é uma circunferência com raio
.
Passo 6
Vamos agora determinar as curvas de nível
e
:
-
Curva de Nível
: Essa é uma circunferência de raio 3. -
Curva de Nível
: Circunferência de raioou . -
Curva de Nível
: Circunferência de raio. -
Curva de Nível
: Isso significa quee , que é apenas o ponto (0,0).
Resposta
As curvas de nível são: