Deseja-se fabricar uma caixa (com tampa) de base quadrada, de lado x cm, e altura y cm , cujo volume deve ser igual a 2250 cm^3. O custo do material da base e da tampa é de R 2, 00 por 2, 00 por , e o custo das laterais é de , e o custo das laterais é de por 3,00.
Mostre que, para cm^2, o custo total de fabricação da caixa é dado por x>0.

Passo 1

O enunciado pede para montar o custo total de fabricação de uma caixa com base quadrada de lado x e altura y, sabendo que o volume é 2250 cm^3. Vamos usar conhecimento de volume de prismas e cálculo de área para obter o custo em função de x.

Passo 2

O volume de uma caixa com base quadrada é dado por x^2y. Como queremos x^2y=2250, isolamos y:
y=2250x^2

Passo 3

Para a base e a tampa temos duas faces de área x^2 cada, com custo de R por por . Logo o custo dessas duas faces é:
Logo o custo dessas duas faces é:

Passo 4

As quatro faces laterais formam um retângulo de perímetro 4x e altura y, com área total 4xy. Como o custo é R por por , obtemos:
, obtemos: Substituindo Clat=3times4xy=12xy ,
Substituindo

Passo 5

Somando o custo da base, tampa e laterais, temos a função custo:
C(x)=4x^2+27000x

Resposta

C(x)=4x^2+27000x

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