Seja I uma interpretação sobre o conjunto dos números naturais N, tal que I[a]=5, I[b]=3, I[x]=7, I[p(x)]=T Leftrightarrow xI<9, I[r(x)]=T Leftrightarrow xI>4, I[q(x)]=T Leftrightarrow xI=7. Determine o resultado da interpretação de cada uma das fórmulas a seguir, segundo I.

Passo 1

A questão pede para avaliar, numa interpretação sobre ℕ, a fórmula
(exists x)(p(x) (exists x) r(x)) rightarrow ((forall x) p(x) (exists x) r(x)).
O conteúdo aqui é Lógica de Predicados, envolvendo quantificadores existencial e universal, conectivo condicional e bicondicional rightarrow. Vamos usar a interpretação I dada: domínio N, p(x) é verdadeiro se x<9, r(x) é verdadeiro se x>4.

Passo 2

Para ver o lado esquerdo, primeiro notamos o subfórmula interno (exists x) r(x). Como existem naturais maiores que 4 (por exemplo 5), temos
(exists x) r(x) = verdadeiro
Logo, para qualquer valor de x, p(x) (exists x)r(x) é p(x) V, que sempre vale V. Portanto
(exists x)(p(x) (exists x)r(x)) = exists x (V) = verdadeiro

Passo 3

Agora o lado direito é (forall x) p(x) (exists x) r(x). Já vimos que (exists x) r(x) é V. Mas (forall x) p(x) afirma que todo natural é <9, o que é falso (existe 9, 10, …). Então temos
(forall x) p(x) = falso,
e assim
(forall x) p(x) (exists x) r(x) = F V = verdadeiro

Passo 4

Por fim, a bicondicional é comparação de V com V, ou seja
V rightarrow V = verdadeiro
Portanto a fórmula toda é verdadeira segundo I.

Resposta

Verdadeiro

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