Seja I uma interpretação sobre o conjunto dos números naturais N, tal que I[a]=5, I[b]=3, I[x]=7, I[p(x)]=T Leftrightarrow xI<9, I[r(x)]=T Leftrightarrow xI>4, I[q(x)]=T Leftrightarrow xI=7. Determine o resultado da interpretação de cada uma das fórmulas a seguir, segundo I.

Passo 1

O enunciado nos dá uma interpretação I sobre N com constantes e predicados definidos assim:
  • I[a]=5, I[b]=3, I[x]=7
  • p(n) é verdadeiro se e somente se n<9
  • r(n) é verdadeiro se e somente se n>4
    A tarefa é avaliar a fórmula fechada
(forall x)(p(x) to (forall z),r(x)) rightarrow l((forall x),p(x) vee (forall x),r(x)r)
sob essa interpretação.

Passo 2

Repare que em (forall x)(p(x) to (forall z),r(x)), o predicado r(x) não depende de z. Então temos a equivalência:
(forall z),r(x) ;equiv; r(x)
para cada x. Portanto a parte esquerda vira
(forall x)l(p(x) to r(x)r)

Passo 3

Agora vamos avaliar (forall x)(p(x) to r(x)). Isso significa: para todo ninN, se n<9 então n>4.
  • Pegue n=0: p(0) é verdadeiro (pois 0<9), mas r(0) é falso (pois 0not>4).
  • Logo a implicação é falsa em n=0, e o forall x cai em falso.
    Portanto
(forall x)(p(x) to r(x)) = falso

Passo 4

Agora analisamos a parte direita
(forall x)p(x) vee (forall x)r(x)
  • (forall x)p(x)) diz que todo n<9, o que é falso (por exemplo para n=10).
  • (forall x)r(x)) também é falso (por exemplo para n=0).
    Logo falso vee falso = falso

Passo 5

Por fim calculamos o bicondicional entre as duas partes:
falso rightarrow falso = verdadeiro
Isto mostra que a interpretação da fórmula inteira é verdadeira.

Resposta

T

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