Seja I uma interpretação sobre o conjunto dos números naturais N, tal que I[a]=5, I[b]=3, I[x]=7, I[p(x)]=T Leftrightarrow xI<9, I[r(x)]=T Leftrightarrow xI>4, I[q(x)]=T Leftrightarrow xI=7. Determine o resultado da interpretação de cada uma das fórmulas a seguir, segundo I.
((forall x) p(x) vee(forall z)(forall x) r(x)) (forall x)(p(x) vee(exists x) r(x))

Passo 1

Primeiro, resumimos o enunciado e identificamos o conteúdo: queremos avaliar sob a interpretação I a fórmula
((forall x),p(x) vee (forall z)(forall x),r(x)) (forall x)(p(x) vee (exists x),r(x))
Trata-se de lógica de predicados com quantificadores e implicação, e vamos precisar das definições de verdade de (forall), (exists) e de uma implicação.

Passo 2

Em seguida, calculamos o valor de verdade de (forall x)p(x).
Por definição, p(n) é verdadeiro se e somente se n<9. Como nem todo número natural satisfaz n<9 (por exemplo, 9not<9), concluímos que (forall x)p(x) é falso.

Passo 3

Depois, calculamos o valor de verdade de (forall z)(forall x)r(x).
Note que isto equivale a (forall x)r(x). E r(n) é verdadeiro se e somente se n>4. Como nem todo natural satisfaz n>4 (por exemplo, 0 ou 1 não satisfazem), temos (forall z)(forall x)r(x) é falso.

Passo 4

Agora avaliamos o antecedente da implicação, que é a disjunção
(forall x)p(x) vee (forall z)(forall x)r(x).
Como ambos os disjuntos são falsos, a disjunção também é falsa.

Passo 5

Finalmente, pela tabela-verdade da implicação, um antecedente falso implica que a implicação inteira é verdadeira. Portanto a fórmula recebe valor de verdade verdadeiro.

Resposta

T

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