Seja i a unidade imaginária, onde i^2=-1. Calcule o que segue, sendo n um número inteiro e positivo:
i^(2 n+1)=

Passo 1

Beleza, aqui a questão é sobre números complexos, mais especificamente a unidade imaginária i^(2n+1) que satisfaz . O que eles querem encontrar é o valor de
sendo um inteiro positivo.
Para resolver isso, vamos usar a propriedade de potência de expoentes e a periodicidade das potências de .

Passo 2

A primeira ideia é separar o expoente i^(2n+1) ;=; i^2n cdot i^1 ;=; i^2n,cdot,i em duas partes: uma parte par ( ) e um fator sobrando. Então a gente escreve

Passo 3

Agora, olha só: i^2n ;=;(i^2)^n é (i^2)^n = (-1)^n . Isso porque quando a gente tem uma potência elevada a outra potência, multiplica os expoentes:
Mas a gente sabe que . Substituindo:

Passo 4

Juntando as duas partes que tínhamos, fica:
i^(2n+1) = i^2n,cdot,i = (-1)^n ,cdot, i
Pronto! Aí está a forma mais simples que não depende de expandir para cada .

Resposta

boxedi^(2n+1) = (-1)^n,i

Exercícios relacionados