Seja
a unidade imaginária, onde
. Calcule o que segue, sendo n um número inteiro e positivo:
Passo 1
Beleza, aqui a questão é sobre números complexos, mais especificamente a unidade imaginária
que satisfaz
. O que eles querem encontrar é o valor de
sendo
um inteiro positivo.
Para resolver isso, vamos usar a propriedade de potência de expoentes e a periodicidade das potências de .
Para resolver isso, vamos usar a propriedade de potência de expoentes e a periodicidade das potências de
Passo 2
A primeira ideia é separar o expoente
em duas partes: uma parte par (
) e um fator
sobrando. Então a gente escreve
Passo 3
Agora, olha só:
é
. Isso porque quando a gente tem uma potência elevada a outra potência, multiplica os expoentes:
Mas a gente sabe que
. Substituindo:
Passo 4
Juntando as duas partes que tínhamos, fica:
Pronto! Aí está a forma mais simples que não depende de expandir para cada
.