Seja a \in \mathbb{R} e consideremos os seguintes pontos do plano P=(1,-1) e Q=(4, a). Encontre \vec{v}=\overrightarrow{P Q} de modo que \|\vec{v}\|=5.

Passo 1

O enunciado dá os pontos P=(1,-1) e Q=(4,a) no plano e pede o vetor \vec v=\overrightarrow{PQ} de modo que \|\vec v\|=5.
O conteúdo aqui é decompor o vetor em componentes, escrever sua norma e impor a condição.

Passo 2

Para começar, calculamos as componentes de \vec v=\overrightarrow{PQ}=Q-P.
Subtraindo coordenadas, temos
\vec v = \bigl(4-1,\;a-(-1)\bigr) = \bigl(3,\;a+1\bigr).

Passo 3

A norma de \vec v=(3,a+1) é dada por
\|\vec v\| = \sqrt{3^2 + (a+1)^2} = \sqrt{9 + (a+1)^2}.
Queremos que isso seja igual a 5, ou seja,
\sqrt{9 + (a+1)^2} = 5.

Passo 4

Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz, obtemos
9 + (a+1)^2 = 25 \quad\Longrightarrow\quad (a+1)^2 = 16.
Logo
a+1 = 4 \quad\text{ou}\quad a+1 = -4
\Rightarrow a = 3 \quad\text{ou}\quad a = -5.

Passo 5

Finalmente, para cada valor de a encontramos \vec v:
  • Se a=3, então \vec v=(3,\,3+1)=(3,4).
  • Se a=-5, então \vec v=(3,\,-5+1)=(3,-4).

Resposta

As soluções são \vec v=(3,4) quando a=3
ou \vec v=(3,-4) quando a=-5.

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