Seja a \in \mathbb{R}, encontre o vetor \vec{x}=(4 a, a) de modo que \|\vec{x}\|=2.

Passo 1

O enunciado pede para escolher a\in\mathbb{R} de modo que o vetor \vec{x}=(4a,a) tenha norma igual a 2. O conteúdo aqui é cálculo de norma de vetor em \mathbb{R}^2.

Passo 2

A norma de \vec{x} é a distância euclidiana, dada por
\|\vec{x}\| = \sqrt{(4a)^2 + a^2} = \sqrt{16a^2 + a^2} = \sqrt{17\,a^2} = |a|\sqrt{17}.

Passo 3

Impondo \|\vec{x}\| = 2, temos
|a|\sqrt{17} = 2.

Passo 4

Da equação anterior segue
|a| = \frac{2}{\sqrt{17}},
portanto
a = \pm \frac{2}{\sqrt{17}}.

Resposta

As soluções são
a = \frac{2}{\sqrt{17}} \quad\text{ou}\quad a = -\frac{2}{\sqrt{17}}.
Consequentemente, os vetores correspondentes são
\vec{x} = \left(\frac{8}{\sqrt{17}}, \frac{2}{\sqrt{17}}\right) \quad\text{ou}\quad \vec{x} = \left(-\frac{8}{\sqrt{17}}, -\frac{2}{\sqrt{17}}\right).

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