Seja a \in \mathbb{Z}. Mostre que
(-a)^{3}=-a^{3}

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo a\in\mathbb{Z}, vale
(-a)^3 = -a^3.
O conteúdo envolvido é a propriedade de potências em anéis (aqui, os inteiros) e o fato de que o produto de dois números negativos é positivo.

Passo 2

Primeiro, calculamos (-a)^2. Como o produto de dois números negativos é positivo, temos
(-a)^2 \;=\;(-a)\cdot(-a)\;=\;a^2.

Passo 3

Agora usamos a definição de potência de expoente 3:
(-a)^3 = (-a)^2\cdot(-a).
Substituindo o resultado do passo anterior,
(-a)^3 = a^2\cdot(-a) = -(a^2\cdot a) = -a^3.

Resposta

(-a)^3 = -a^3.

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