Exercício 1. Para a, b \in \mathbb{Z}, mostre que
(-1)(-1)=1

Passo 1

O enunciado quer que mostremos que (-1)\cdot(-1)=1 em \mathbb{Z}. Vamos usar que 0 é o elemento neutro aditivo, que -1 é o inverso aditivo de 1, que 1 é o elemento neutro multiplicativo e a propriedade distributiva do produto sobre a soma.

Passo 2

Como 0 é o neutro aditivo, temos
0 = 0 \cdot (-1).

Passo 3

Mas 0 = (-1) + 1. Então, aplicando distributividade,
0 \cdot (-1) = \bigl((-1) + 1\bigr)\cdot(-1) = (-1)\cdot(-1) + 1\cdot(-1).

Passo 4

Sabemos que 1\cdot(-1) = -1. Logo:
0 = (-1)\cdot(-1) + (-1).

Passo 5

Somando 1 aos dois lados, fica
0 + 1 = \bigl((-1)\cdot(-1) + (-1)\bigr) + 1.
Pela associatividade e por -1 + 1 = 0, obtemos
1 = (-1)\cdot(-1).

Resposta

(-1)\cdot(-1) = 1.

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