Exercício 1. Para a, b \in \mathbb{Z}, mostre que
(-1) a=-a

Passo 1

O enunciado pede para provar que, em \mathbb{Z}, para todo a, vale
(-1)\,a = -a.
Aqui vamos usar o fato de que -1 é o inverso aditivo de 1 (ou seja, 1 + (-1)=0), a propriedade distributiva e a unicidade do inverso aditivo em \mathbb{Z}.

Passo 2

Como -1 é o inverso aditivo de 1, temos
1 + (-1) = 0.

Passo 3

Multiplicamos essa igualdade por a:
(1 + (-1))\,a = 0\,a.

Passo 4

Pela distributividade do produto sobre a soma e por 0 ser o elemento absorvente para a multiplicação, obtemos
1\cdot a + (-1)\cdot a = 0 \quad\Longrightarrow\quad a + (-1)\,a = 0.
Isso mostra que (-1)\,a é um elemento cujo somatório com a dá zero, ou seja, é o inverso aditivo de a.

Passo 5

Em \mathbb{Z} o inverso aditivo de a é único e o denotamos por -a. Logo
(-1)\,a = -a.

Resposta

(-1)\,a = -a.

Exercícios relacionados