Seja
uma matriz com todos autovalores distintos. Mostre que se os autovalores de
são tais que
então
converge para a matriz nula quanto
tende ao infinito.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma matriz
cujos autovalores
são todos distintos e satisfazem
para
. Queremos mostrar que
O principal conteúdo que vamos usar é a diagonalização de matrizes com autovalores distintos e o comportamento de potências de matrizes diagonais.
Passo 2
Como
tem
autovalores distintos, ela é diagonalizável. Ou seja, existe matriz invertível
e matriz diagonal
tais que
Passo 3
Elevando ambos os lados à potência
, obtemos
já que
e
se cancelam em cada fator intermediário.
Passo 4
Observe que
Como
, temos
quando
. Logo
Passo 5
Para concluir, usemos uma norma de matrizes qualquer (por exemplo a norma induzida). Temos
Como
, segue que
Isto mostra que
quando
.