Seja A in R^n times n uma matriz com todos autovalores distintos. Mostre que se os autovalores de A são tais que |lambdai|<1, ^i=1,2, cdots, n então A^k converge para a matriz nula quanto k tende ao infinito.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma matriz AinR^ntimes n cujos autovalores lambda1,dots,lambdan são todos distintos e satisfazem lvertlambdairvert<1 para i=1,2,dots,n. Queremos mostrar que
A^k;longrightarrow;0quando ktoinfty
O principal conteúdo que vamos usar é a diagonalização de matrizes com autovalores distintos e o comportamento de potências de matrizes diagonais.

Passo 2

Como tem autovalores distintos, ela é diagonalizável. Ou seja, existe matriz invertível e matriz diagonal
tais que

Passo 3

Elevando ambos os lados à potência k, obtemos
A^k = (PDP^-1)^k = P,D^k,P^-1,
já que P e P^-1 se cancelam em cada fator intermediário.

Passo 4

Observe que
Como , temos quando . Logo

Passo 5

Para concluir, usemos uma norma de matrizes qualquer (por exemplo a norma induzida). Temos
|A^k| = |P,D^k,P^-1| <= |P|,|D^k|,|P^-1|
Como |D^k| = max1<= i<= n|lambdai|^kto0, segue que
|A^k|;longrightarrow;0
Isto mostra que A^kto0 quando ktoinfty.

Resposta

A^k converge para a matriz nula quando ktoinfty.

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