Considerando as mesmas hipóteses da questão anterior, mostre que a exponencial de matriz
converge para a matriz nula quanto
tende ao infinito se todos os autovalores de
possuirem parte real negativa.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sob as hipóteses de que todos os autovalores de
têm parte real negativa, a matriz exponencial
tende à matriz nula quando
. O conteúdo principal é usar a forma de Jordan de
e a definição de exponencial de matriz.
Passo 2
Como
é uma matriz quadrada cujos autovalores
satisfazem
, existe uma matriz invertível
tal que
onde
é a forma de Jordan de
, isto é, bloco-diagonal com cada bloco de Jordan associado a um
.
Passo 3
Pela propriedade da exponencial de matriz, temos
Portanto basta mostrar que
quando
.
Passo 4
Cada bloco de Jordan
relativo a
pode ser escrito como
onde
é nilpotente. Então
Passo 5
Como
, o fator
decai exponencialmente. Mesmo multiplicado pelo polinômio
, sabemos que
de modo que
Como
é bloco-diagonal em que cada bloco tende a zero, segue que
.
Passo 6
Escolhendo uma norma matricial submultiplicativa
, obtemos