Considerando as mesmas hipóteses da questão anterior, mostre que a exponencial de matriz e^A t converge para a matriz nula quanto t tende ao infinito se todos os autovalores de A possuirem parte real negativa.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sob as hipóteses de que todos os autovalores de A têm parte real negativa, a matriz exponencial e^A t tende à matriz nula quando ttoinfty. O conteúdo principal é usar a forma de Jordan de A e a definição de exponencial de matriz.

Passo 2

Como A é uma matriz quadrada cujos autovalores lambda1,dots,lambdan satisfazem Re(lambdai)<0, existe uma matriz invertível V tal que
A ;=; V,J,V^-1,
onde J é a forma de Jordan de A, isto é, bloco-diagonal com cada bloco de Jordan associado a um lambdak.

Passo 3

Pela propriedade da exponencial de matriz, temos
e^A t ;=; e^V J V^-1t ;=; V,e^J t,V^-1
Portanto basta mostrar que e^Jtto 0 quando ttoinfty.

Passo 4

Cada bloco de Jordan Jk relativo a lambdak pode ser escrito como
Jk = lambdakI + Nk,
onde Nk é nilpotente. Então
e^Jkt = e^(lambdakI+Nk)t = e^lambdakt,e^Nkt = e^lambdaktsumm=0^nk-1t^mm!Nk^m

Passo 5

Como Re(lambdak)<0, o fator e^lambdakt decai exponencialmente. Mesmo multiplicado pelo polinômio summ=0^nk-1t^m/m!, sabemos que
limttoinftyt^me^Re(lambdak)t=0 forall m,
de modo que
limttoinftye^Jkt=0
Como e^Jt é bloco-diagonal em que cada bloco tende a zero, segue que e^Jtto 0.

Passo 6

Escolhendo uma norma matricial submultiplicativa |cdot|, obtemos
|e^A t| =|V,e^Jt,V^-1| <= |V|;|V^-1|;|e^Jt| ;xrightarrow[ttoinfty];0

Resposta

limttoinftye^A t=0.

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