Crie um exemplo de uma matriz quadrada que possua polinômio característico de grau 4 e polinômio mínimo de grau 2. Verifique o exemplo mostrando que a matriz satisfaz o seu polinômio mínimo.

Passo 1

O enunciado pede uma matriz quadrada 4times4 cujo polinômio característico tenha grau 4 e cujo polinômio mínimo tenha grau 2. Para isso usamos o fato de que, se uma matriz tem exatamente dois autovalores distintos, então seu polinômio mínimo é o produto dos dois fatores lineares (lambda-lambda1) e (lambda-lambda2), o que dá grau 2, enquanto o polinômio característico em dimensão 4 sempre terá grau 4.

Passo 2

Vamos escolher uma matriz diagonal cujos autovalores sejam ,1 (com multiplicidade 3) e ,2 (com multiplicidade 1). Definimos
A = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 2

Passo 3

O polinômio característico de A é
p(lambda)=det(lambda I - A) =det lambda-1 & 0 & 0 & 0 0 & lambda-1 & 0 & 0 0 & 0 & lambda-1 & 0 0 & 0 & 0 & lambda-2 =(lambda-1)^3(lambda-2),
que tem grau 4.

Passo 4

Como A possui exatamente dois autovalores distintos ( 1 e 2) e não há blocos de Jordan de ordem maior do que 1, o polinômio mínimo é
m(lambda)=(lambda-1)(lambda-2),
que tem grau 2 e divide p(lambda).

Passo 5

Para verificar que m(A)=0, calculamos
A - I = 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 , A - 2I = -1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 0
Logo,
m(A) = (A-I)(A-2I) = 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 -1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 =04times4,
confirmando que m(A) realmente aniquila A.

Resposta

A matriz
A = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 2
tem polinômio característico p(lambda)=(lambda-1)^3(lambda-2) e polinômio mínimo m(lambda)=(lambda-1)(lambda-2), e satisfaz m(A)=0.

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