Seja f:[a, \infty) \rightarrow \mathbb{R} uma função Riemann-integrável em [a, x] para todo x \in[a, \infty) cuja antiderivada é limitada em [a, \infty) : existe M>0 tal que |F(x)| \leq M para todo x \in[a, \infty), onde
F(x)=\int_{a}^{x} f(r) d r
Considere também g:[a, \infty) \rightarrow \mathbb{R} uma função monotônica (i.e. g ou é crescente ou é decrescente, exclusivamente), de classe C^{1} em [a, \infty) (i.e. g^{\prime}(x) existe e é contínua para x \geq a ) e satisfazendo \lim _{x \rightarrow \infty} g(x)=0. Nestas hipóteses, o teste de Dirichlet diz que é convergente a integral imprópria
\int_{a}^{\infty} f(x) g(x) d x
(a) (5 pontos) Verifique por meio de contraexemplos que sem as hipóteses em f e g o teste de Dirichlet pode falhar.
(b) ( 10 pontos) Utilize o teste de Dirichlet para mostrar que são convergentes
(i) \int_{\pi}^{\infty} \frac{\cos x}{x} d x
(ii) \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} d x
(iii) $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x(x+1)} d x

Passo 1

O enunciado apresenta o teste de Dirichlet para a convergência de integrais impróprias do tipo
\int_{a}^{\infty} f(x)\,g(x)\,dx,
onde f é Riemann-integrável em [a,x] com antiderivada
F(x)=\int_{a}^{x}f(r)\,dr
limitada em [a,\infty), e g é de classe C^1, monotônica e satisfaz \lim_{x\to\infty}g(x)=0.
Na parte (a) vamos dar contraexemplos mostrando que, se faltam as hipóteses em f ou em g, o teste pode falhar.
Na parte (b) vamos aplicar o teste para mostrar que três integrais específicas convergem.

Passo 2

Contraexemplo 1 (falha sem \,F limitada):
Escolha
f(x)=1,\quad g(x)=\frac1{x+1},\quad a=0.
Então
F(x)=\int_{0}^{x}1\,dr = x,
que é não limitada quando x\to\infty. Note que g é C^1, decrescente e \lim_{x\to\infty}g(x)=0. Contudo,
\int_{0}^{\infty} f(x)\,g(x)\,dx =\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x+1}\,dx =\Bigl[\ln(x+1)\Bigr]_{0}^{\infty}=\infty,
logo diverge. Isso mostra que sem a hipótese \lvert F(x)\rvert\le M a conclusão falha.

Passo 3

Contraexemplo 2 (falha sem g monotônica ou sem \lim g(x)=0):
a) Sem \lim_{x\to\infty}g(x)=0: tome
f(x)=\sin x,\quad g(x)=1,\quad a=0.
Aqui F(x)=\int_{0}^{x}\sin r\,dr=1-\cos x é limitada, e g é constante (logo monotônica), mas \lim g(x)=1\neq0.
Então
\int_{0}^{\infty}\sin x\,dx
não converge (é oscilante sem limite).
b) Sem monotonicidade de g: tome
f(x)=\sin x,\quad g(x)=\frac{\sin x}{x},\quad a=1.
Temos F(x)=1-\cos x limitada e \lim_{x\to\infty}g(x)=0, mas g não é monotônica. Então
\int_{1}^{\infty}\frac{\sin x\cdot\sin x}{x}\,dx =\int_{1}^{\infty}\frac{\sin^{2}x}{x}\,dx
comporta-se como \int_{1}^{\infty}\tfrac12\,\frac{1}{x}\,dx, daí diverge. Isso mostra que sem monotonicidade de g também pode falhar.

Passo 4

Aplicando o teste de Dirichlet a
\displaystyle\int_{\pi}^{\infty}\frac{\cos x}{x}\,dx:
Defina
f(x)=\cos x,\quad g(x)=\frac1{x},\quad a=\pi.
Então
F(x)=\int_{\pi}^{x}\cos r\,dr = \sin x - \sin\pi = \sin x,
que é limitada ( \lvert\sin x\rvert\le1). E g é C^1, decrescente em [\pi,\infty) e \lim_{x\to\infty}g(x)=0.
Pelo teste de Dirichlet, a integral converge.

Passo 5

Aplicando o teste de Dirichlet a
\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx:
Divida em
\int_{0}^{1}+\int_{1}^{\infty}.
  1. Em [0,1] o integrando \sin x / x tende a 1 quando x\to0, logo é contínuo em (0,1] e tem limite finito em 0, portanto \int_{0}^{1}\sin x/x\,dx converge (comparação com função contínua).
  2. Em [1,\infty) use
f(x)=\sin x,\quad g(x)=\frac1{x}.
Como antes, F(x)=1-\cos x é limitada, g é decrescente e tende a zero. Pelo teste de Dirichlet, \int_{1}^{\infty}\sin x/x\,dx converge.
Logo \displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx converge.

Passo 6

Aplicando o teste de Dirichlet a
\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x(x+1)}\,dx:
Divida em \int_{0}^{1}+\int_{1}^{\infty}.
  1. Em [0,1], para x\to0,
\frac{\sin x}{x(x+1)}\sim\frac{x}{x(1)}=1,
então o integrando é contínuo perto de 0 e \int_{0}^{1} converge.
2. Em [1,\infty) use
f(x)=\sin x,\quad g(x)=\frac{1}{x(x+1)},
então
F(x)=1-\cos x
é limitada, e g é C^1, positiva, decrescente e \lim_{x\to\infty}g(x)=0. Pelo teste de Dirichlet, \int_{1}^{\infty}\sin x/[x(x+1)]\,dx converge.
Portanto \displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x(x+1)}\,dx também converge.

Resposta

(a) Um contraexemplo sem F limitada:
\displaystyle f=1, g(x)=1/(x+1), \Rightarrow \int_{0}^{\infty}1/(x+1)\,dx=\infty.
Sem \lim g(x)=0: f=\sin x, g=1, \Rightarrow \int_{0}^{\infty}\sin x\,dx diverge.
Sem monotonicidade de g: f=\sin x, g=\sin x/x, \Rightarrow \int_{1}^{\infty}\sin^{2}x/x\,dx diverge.
(b) Todas as três integrais são convergentes pelo teste de Dirichlet.

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