Seja
uma função Riemann-integrável em
para todo
cuja antiderivada é limitada em
: existe
tal que
para todo
, onde
Considere também
uma função monotônica (i.e.
ou é crescente ou é decrescente, exclusivamente), de classe
em
(i.e.
existe e é contínua para
) e satisfazendo
. Nestas hipóteses, o teste de Dirichlet diz que é convergente a integral imprópria
(a) (5 pontos) Verifique por meio de contraexemplos que sem as hipóteses em
e
o teste de Dirichlet pode falhar.
(b) ( 10 pontos) Utilize o teste de Dirichlet para mostrar que são convergentes
(i)
(ii)
(iii) $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x(x+1)} d x
(b) ( 10 pontos) Utilize o teste de Dirichlet para mostrar que são convergentes
(i)
(ii)
(iii) $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x(x+1)} d x
Passo 1
O enunciado apresenta o teste de Dirichlet para a convergência de integrais impróprias do tipo
onde
é Riemann-integrável em
com antiderivada
limitada em
, e
é de classe
, monotônica e satisfaz
.
Na parte (a) vamos dar contraexemplos mostrando que, se faltam as hipóteses em ou em
, o teste pode falhar.
Na parte (b) vamos aplicar o teste para mostrar que três integrais específicas convergem.
Na parte (a) vamos dar contraexemplos mostrando que, se faltam as hipóteses em
Na parte (b) vamos aplicar o teste para mostrar que três integrais específicas convergem.
Passo 2
Contraexemplo 1 (falha sem
limitada):
Escolha
Escolha
Então
que é não limitada quando
. Note que
é
, decrescente e
. Contudo,
logo diverge. Isso mostra que sem a hipótese
a conclusão falha.
Passo 3
Contraexemplo 2 (falha sem
monotônica ou sem
):
a) Sem : tome
a) Sem
Aqui
é limitada, e
é constante (logo monotônica), mas
.
Então
Então
não converge (é oscilante sem limite).
b) Sem monotonicidade de : tome
b) Sem monotonicidade de
Temos
limitada e
, mas
não é monotônica. Então
comporta-se como
, daí diverge. Isso mostra que sem monotonicidade de
também pode falhar.
Passo 4
Aplicando o teste de Dirichlet a
:
Defina
Defina
Então
que é limitada (
). E
é
, decrescente em
e
.
Pelo teste de Dirichlet, a integral converge.
Pelo teste de Dirichlet, a integral converge.
Passo 5
Aplicando o teste de Dirichlet a
:
Divida em
.
Divida em
- Em
o integrando tende a quando , logo é contínuo em e tem limite finito em , portanto converge (comparação com função contínua). - Em
use
Como antes,
é limitada,
é decrescente e tende a zero. Pelo teste de Dirichlet,
converge.
Logo converge.
Logo
Passo 6
Aplicando o teste de Dirichlet a
:
Divida em .
Divida em
- Em
, para ,
então o integrando é contínuo perto de
e
converge.
2. Em use
2. Em
então
é limitada, e
é
, positiva, decrescente e
. Pelo teste de Dirichlet,
converge.
Portanto também converge.
Portanto
Resposta
(a) Um contraexemplo sem
limitada:
,
,
.
Sem :
,
,
diverge.
Sem monotonicidade de :
,
,
diverge.
Sem
Sem monotonicidade de
(b) Todas as três integrais são convergentes pelo teste de Dirichlet.