A função gama, denotada por
\Gamma(x), é uma função especial de suma importância em físicamatemática. Para
x>0 o valor
\Gamma(x) é definido pela integral imprópria
\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} d t
(a) ( 10 pontos) Mostre que esta função está bem definida, isto é, a integral imprópria converge para todo
x>0.
Dicas: Separe o valor de
\Gamma(x) para
0<x<1 e
x \geq 1. No primeiro caso note que também temos uma assintota vertical para
t \rightarrow 0^{+}, assim separe a integral em duas outras integrais para analisar as integrais impróprias distintas. Note também que
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{t^{x-1} e^{-t}}{e^{-t / 2}}=0.
(b) ( 5 pontos) Integrando por partes, verifique a seguinte propriedade da função gama:
(c) ( 5 pontos) Calculando
\Gamma (1) e usando a propriedade em (b), argumente que
\Gamma(n+1)=n ! para
n \in \mathbb{N}.
(d) ( 5 pontos) Neste item esboçamos um método relativamente elementar de calcular a integral Gaussiana
I=\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x por meio da função gama: verifique que
\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=2 I, reescrevendo a integral da função gama por meio da substituição
t=u^{2}. Utilizando agora a seguinte relação
\frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{2 \Gamma(x+y)}=\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{2 x-1}(\theta) \sin ^{2 y-1}(\theta) d \theta, \quad x>0 \text { e } y>0
(cuja demonstração está fora do escopo deste curso) obtenha
\Gamma\left(\frac{1}{2}\right).