Seja a um inteiro. Mostre que
se \operatorname{mdc}(a, 12)=1, então a^{4 n} \equiv 1(\bmod 12) para todo n \geq 1.

Passo 1

O enunciado dá que a é um inteiro com \gcd(a,12)=1 e pede para mostrar que
a^{4n}\equiv 1\pmod{12}
para todo n\ge 1.
Informações relevantes do enunciado:
  • a é inteiro e \gcd(a,12)=1 (ou seja, a é invertível módulo 12);
  • precisamos provar a congruência para todos os inteiros n\ge 1.

Passo 2

Definição e lema que vamos usar (explicado de forma elementar).
Definição: a função totiente de Euler \varphi(m) dá o número de inteiros entre 1 e m que são coprimos com m. Para m=12 vamos calcular \varphi(12) no Passo 3.
Lema (Teorema de Euler, enunciado e ideia do porquê funciona):
Se \gcd(a,m)=1, então
a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod{m}.
Prova curta e intuitiva do lema (sem usar teoria de grupos):
  • Considere o conjunto R formado pelos \varphi(m) inteiros positivos menores ou iguais a m que são coprimos com m. Escreva R=\{r_1,r_2,\dots,r_{\varphi(m)}\}.
  • Como \gcd(a,m)=1, a multiplicação por a modulo m leva cada r_i a outro número coprimo com m (pois se \gcd(r_i,m)=1 então \gcd(ar_i,m)=1). Logo a lista \{a r_1,\dots,a r_{\varphi(m)}\} é uma permutação de \{r_1,\dots,r_{\varphi(m)}\} módulo m.
  • Tomando o produto de todos os elementos dessa igualdade de conjuntos (mod m), obtemos
a^{\varphi(m)}\cdot r_1 r_2\cdots r_{\varphi(m)} \equiv r_1 r_2\cdots r_{\varphi(m)} \pmod{m}.
  • Como cada r_i é coprimo com m, o produto r_1\cdots r_{\varphi(m)} também é coprimo com m e, portanto, tem inverso multiplicativo módulo m. Podemos “cancelar” esse produto nas duas mãos da congruência, obtendo
a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod{m}.
Essa é a razão essencial do Teorema de Euler.

Passo 3

Cálculo de \varphi(12).
Fatorando 12 temos 12=2^2\cdot 3. A fórmula para \varphi em termos de fatoração é
\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^k\left(1-\tfrac{1}{p}\right)
e, em geral, se m=\prod p_i^{k_i} então \varphi(m)=m\prod(1-1/p_i).
Aplicando a 12:
\varphi(12)=12\left(1-\tfrac{1}{2}\right)\left(1-\tfrac{1}{3}\right)=12\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{3}=4.
Portanto \varphi(12)=4.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Euler ao caso m=12.
Pelo Teorema de Euler (Passo 2), como \gcd(a,12)=1, vale
a^{\varphi(12)}\equiv 1\pmod{12}.
Como \varphi(12)=4 (Passo 3), temos
a^{4}\equiv 1\pmod{12}.

Passo 5

Concluir para todo n\ge 1.
Se a^{4}\equiv 1\pmod{12}, então elevando ambos os lados à potência n obtemos
\left(a^{4}\right)^{n}=a^{4n}\equiv 1^{\,n}\equiv 1\pmod{12}.
Isso vale para qualquer inteiro n\ge 1. Assim a propriedade desejada está provada.

Passo 6

Observação alternativa (mais elementar, sem mencionar \varphi explicitamente): os invertíveis módulo 12 são as classes representadas por 1,5,7,11. Calculando
1^4\equiv1,\quad 5^2=25\equiv1\pmod{12}\Rightarrow 5^4\equiv1,
7\equiv -5\pmod{12}\Rightarrow 7^2\equiv 25\equiv1\pmod{12}\Rightarrow 7^4\equiv1,
11\equiv -1\pmod{12}\Rightarrow 11^2\equiv1\pmod{12}\Rightarrow 11^4\equiv1.
Logo todas as classes invertíveis têm quarta potência congruente a 1 módulo 12, o que dá a mesma conclusão.

Resposta

\,a^{4n}\equiv 1\pmod{12} para todo \,n\ge 1.

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