Seja a um inteiro. Mostre que
a^{1331} \equiv a(\bmod 11).

Passo 1

O enunciado dá um inteiro a e pede para mostrar que
a^{1331}\equiv a \pmod{11}.
Informações relevantes que temos a partir do enunciado:
  • a é um inteiro arbitrário (pode ser múltiplo de 11 ou não).
  • O módulo é 11, que é um número primo.
  • Precisamos provar a congruência para todo inteiro a.

Passo 2

Primeiro tratemos o caso simples: suponha que 11 divida a. Então a\equiv 0\pmod{11}. Nesse caso:
a^{1331}\equiv 0^{1331}\equiv 0\pmod{11},
logo
a^{1331}\equiv a\pmod{11}
porque ambos são congruentes a 0. Portanto o enunciado é verdadeiro quando 11\mid a.

Passo 3

Agora suponha que 11 não divide a, ou seja, \gcd(a,11)=1. Vamos usar um fato fundamental (que vou demonstrar de forma elementar): para um primo p e inteiro a com \gcd(a,p)=1 vale
a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}.
Aqui p=11, então a afirmação será a^{10}\equiv 1\pmod{11}.
Explicação e prova curta desse fato (argumento por rearranjo dos resíduos):
  • Considere os números 1,2,\dots,10. Como 11 é primo, todos esses números são não-nulos módulo 11 e formam o conjunto completo de representantes das classes invertíveis modulo 11.
  • Multiplicando cada um desses números por a (e reduzindo módulo 11) obtemos a\cdot1,a\cdot2,\dots,a\cdot10. Como \gcd(a,11)=1, a multiplicação por a permuta essas classes: os 10 produtos são congruentes (em alguma ordem) a 1,2,\dots,10 módulo 11.
  • Portanto o produto dos 10 números originais é congruente ao produto dos 10 produtos:
1\cdot2\cdots10 \equiv (a\cdot1)(a\cdot2)\cdots(a\cdot10) \pmod{11}.
  • No lado direito há 10 fatores a, logo
1\cdot2\cdots10 \equiv a^{10}\,(1\cdot2\cdots10) \pmod{11}.
  • Como 1\cdot2\cdots10 não é múltiplo de 11, podemos “cancelar” esse produto (formalmente, existe inverso multiplicativo), obtendo
a^{10}\equiv 1\pmod{11}.
Isso estabelece a versão necessária do Teorema de Fermat para p=11.

Passo 4

Com a^{10}\equiv 1\pmod{11} (quando \gcd(a,11)=1), reduzimos o expoente 1331. Observe que
1331 = 10\cdot133 + 1.
Logo
a^{1331} = a^{10\cdot133+1} = \bigl(a^{10}\bigr)^{133}\cdot a.
Reducindo módulo 11 e usando a^{10}\equiv 1 obtemos
a^{1331}\equiv 1^{133}\cdot a \equiv a \pmod{11}.

Passo 5

Juntando os dois casos:
  • Se 11\mid a, então a^{1331}\equiv a\equiv 0\pmod{11}.
  • Se \gcd(a,11)=1, então por razão acima a^{1331}\equiv a\pmod{11}.
Portanto, para todo inteiro a vale a^{1331}\equiv a\pmod{11}.

Resposta

a^{1331}\equiv a \pmod{11}

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