Seja
um inteiro
. Em todas as 3 partes, mostre seu trabalho.
Obs.: As 3 partes (1), (2) e (3) são de certa maneira independentes.
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 e portanto escreva
- 0.0166666 para representar 5/300
A sugestão é que você use 6 ou mais dígitos significativos:
ou
Demonstre a fórmula clássica de redução a seguir, determinando a constante
na fórmula, para
inteiro,
Obs.: aqui
e a fórmula é alternativamente escrita como
Dica: note que, com
. Use integração por partes com cuidado e as identidades trigonométricas pertinentes, provando a fórmula precisamente e, determinando o valor de
abaixo.
O valor de
na fórmula de redução é
Obs.: As 3 partes (1), (2) e (3) são de certa maneira independentes.
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 e portanto escreva
A sugestão é que você use 6 ou mais dígitos significativos:
Demonstre a fórmula clássica de redução a seguir, determinando a constante
O valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar a fórmula de redução para a integral de
e descobrir o valor da constante
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando integração por partes e identidades trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a integração por partes e manipular as potências de seno.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a identidade que foi dada no enunciado:
Queremos determinar o valor de
. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Passo 3
Vamos aplicar a integração por partes na integral
. Para isso, escolhemos:
Agora, calculamos
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
,
e
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos simplificar a integral restante. Sabemos que
(uma identidade trigonométrica básica). Então:
Distribuindo:
Passo 6
Substituindo de volta na nossa expressão anterior:
Vamos chamar a integral original de
, então:
Passo 7
Agora, vamos isolar
:
Passo 8
Comparando com a fórmula dada no enunciado:
Vemos que:
Então, igualando os expoentes:
Passo 9
Resolvendo para
:
Resposta
O valor de
na fórmula de redução é
.