Seja n um inteiro >= 2. Em todas as 3 partes, mostre seu trabalho.
Obs.: As 3 partes (1), (2) e (3) são de certa maneira independentes.
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 e portanto escreva
  • 0.0166666 para representar 5/300
    A sugestão é que você use 6 ou mais dígitos significativos: 0 0 1 6 6 6 6 6 ou 1 3 0 7 9 7 6
    Demonstre a fórmula clássica de redução a seguir, determinando a constante p na fórmula, para n >= 2 inteiro,
integral sen^n x d x=-1n(cos x) sen^n-1 x+n-1n integral sen^n-p-1 x d x
Obs.: aqui sen^n-p-1 x=(sen x)^n-p-1 e a fórmula é alternativamente escrita como
integral(sen x)^n d x=-1n(cos x)(sen x)^n-1+n-1n integral(sen x)^n-p-1 d x
Dica: note que, com n >= 2, sen^n x=(sen x)(sen^n-1 x). Use integração por partes com cuidado e as identidades trigonométricas pertinentes, provando a fórmula precisamente e, determinando o valor de p abaixo.
O valor de p na fórmula de redução é p=square

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar a fórmula de redução para a integral de sin^n x e descobrir o valor da constante p. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando integração por partes e identidades trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a integração por partes e manipular as potências de seno.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a identidade que foi dada no enunciado:
integral sen^n x , dx = -1n cos x , sen^n-1 x + n-1n integral sen^n-p-1 x , dx
Queremos determinar o valor de p. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du

Passo 3

Vamos aplicar a integração por partes na integral integral sen^n x , dx. Para isso, escolhemos:
u = sen^n-1 x e dv = sen x , dx
Agora, calculamos du e v:
du = (n-1) sen^n-2 x cos x , dx
v = -cos x

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral sen^n x , dx = uv - integral v , du
Substituindo u, v, du e dv:
= -cos x cdot sen^n-1 x - integral (-cos x) cdot (n-1) sen^n-2 x cos x , dx
Simplificando:
= -cos x cdot sen^n-1 x + (n-1) integral sen^n-2 x cos^2 x , dx

Passo 5

Agora, precisamos simplificar a integral restante. Sabemos que cos^2 x = 1 - sen^2 x (uma identidade trigonométrica básica). Então:
integral sen^n-2 x cos^2 x , dx = integral sen^n-2 x (1 - sen^2 x) , dx
Distribuindo:
= integral sen^n-2 x , dx - integral sen^n x , dx

Passo 6

Substituindo de volta na nossa expressão anterior:
integral sen^n x , dx = -cos x cdot sen^n-1 x + (n-1) ( integral sen^n-2 x , dx - integral sen^n x , dx )
Vamos chamar a integral original de In = integral sen^n x , dx, então:
In = -cos x cdot sen^n-1 x + (n-1) In-2 - (n-1) In

Passo 7

Agora, vamos isolar In:
In + (n-1) In = -cos x cdot sen^n-1 x + (n-1) In-2
n In = -cos x cdot sen^n-1 x + (n-1) In-2
In = -1n cos x cdot sen^n-1 x + n-1n In-2

Passo 8

Comparando com a fórmula dada no enunciado:
integral sen^n x , dx = -1n cos x cdot sen^n-1 x + n-1n integral sen^n-p-1 x , dx
Vemos que:
In-2 = integral sen^n-p-1 x , dx
Então, igualando os expoentes:
n - p -1 = n - 2

Passo 9

Resolvendo para p:
n - p -1 = n - 2
-n + n - p -1 = -2 (ando ambos os lados por $n$)
-p -1 = -2
-p = -1

Resposta

O valor de p na fórmula de redução é boxed1.

Exercícios relacionados