Seja A^-1 a inversa de A=(ll7 & -3 2 & -1). Determine:
a) A+A^-1
b) (A^-1)^2+A^2

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com a matriz
A = 7 & -3 2 & -1
e sua inversa A^-1. Vamos usar a fórmula de inversa para matrizes 2times2 e em seguida fazer soma e multiplicação matricial para obter
a) A + A^-1
b) (A^-1)^2 + A^2.

Passo 2

Primeiro calculamos o determinante de A e aplicamos a fórmula da inversa para matriz 2times2.
det(A)=7cdot(-1)-(-3)cdot2=-7+6=-1
Para
A = a & b c & d
a inversa é
A^-1=1det(A)d & -b -c & a
Logo,
A^-1 =1-1 -1 & 3 -2 & 7 = 1 & -3 2 & -7

Passo 3

Agora somamos A com A^-1 componente a componente:
A + A^-1 = 7 & -3 2 & -1 + 1 & -3 2 & -7 = 7+1 & -3-3 2+2 & -1-7 = 8 & -6 4 & -8

Passo 4

Para calcular as potências, fazemos a multiplicação matricial.
A^2 = 7 & -3 2 & -1 7 & -3 2 & -1 = 49-6 & -21+3 14-2 & -6+1 = 43 & -18 12 & -5,
(A^-1)^2 = 1 & -3 2 & -7 1 & -3 2 & -7 = 1-6 & -3+21 2-14 & -6+49 = -5 & 18 -12 & 43

Passo 5

Somamos (A^-1)^2 com A^2 componente a componente:
(A^-1)^2 + A^2 = -5 & 18 -12 & 43 + 43 & -18 12 & -5 = -5+43 & 18-18 -12+12 & 43-5 = 38 & 0 0 & 38

Resposta

a)
A + A^-1 = 8 & -6 4 & -8
b)
(A^-1)^2 + A^2 = 38 & 0 0 & 38

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