Seja J=400 sen theta /(r^2+4) ar A / m^2. (a) Calcule a corrente total que flui pela porção da superfície esférica r=0,8, limitada por 0,1 pi, 0. (b) Calcule o valor médio de J sobre a área definida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre densidade de corrente elétrica em coordenadas esféricas. A gente precisa calcular a corrente total que passa por uma parte específica de uma superfície esférica e também o valor médio dessa densidade de corrente nessa área. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais em coordenadas esféricas e entender como aplicar a densidade de corrente dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão da densidade de corrente elétrico fornecida:
J = 400 sin thetar^2 + 4 , ar A/m^2
Aqui, J está na direção radial ar, e sua magnitude depende de r e theta.

Passo 3

Para encontrar a corrente total que passa por uma superfície, a gente precisa calcular a integral de superfície da densidade de corrente:
I = integral duplaS J cdot dA
Onde dA é o elemento de área vetorial na superfície.

Passo 4

Como a superfície é esférica de raio r = 0,8, o elemento de área em coordenadas esféricas é dado por:
dA = r^2 sin theta , dtheta , dphi , ar
Como J está na direção ar, o produto escalar J cdot dA simplifica para:
J cdot dA = 400 sin theta(0,8)^2 + 4 times (0,8)^2 sin theta , dtheta , dphi

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, calculamos r^2 + 4 = (0,8)^2 + 4 = 0,64 + 4 = 4,64.
Então, a expressão fica:
J cdot dA = 400 sin theta4,64 times 0,64 sin theta , dtheta , dphi
Multiplicando os números:
400 times 0,644,64 = 2564,64 approx 55,172
Então:
J cdot dA approx 55,172 sin^2 theta , dtheta , dphi

Passo 6

Agora, configuramos os limites de integração conforme o enunciado:
0,1pi < theta < 0,3pi 0 < phi < 2pi
Então, a integral para a corrente total fica:
I approx 55,172 integral0,1pi^0,3pi sin^2 theta , dtheta integral0^2pi dphi

Passo 7

Vamos resolver as integrais separadamente. Primeiro, a integral em phi:
integral0^2pi dphi = 2pi
Depois, a integral em theta:
integral0,1pi^0,3pi sin^2 theta , dtheta
Lembrando que sin^2 theta = 1 - cos 2theta2, então:
integral sin^2 theta , dtheta = theta2 - sin 2theta4 + C
Aplicando os limites:
[ theta2 - sin 2theta4 ]0,1pi^0,3pi = ( 0,3pi2 - sin 0,6pi4 ) - ( 0,1pi2 - sin 0,2pi4 )
Calculando:
= ( 0,15pi - sin 0,6pi4 ) - ( 0,05pi - sin 0,2pi4 ) = 0,15pi - 0,05pi - sin 0,6pi - sin 0,2pi4 = 0,10pi - sin 0,6pi - sin 0,2pi4
Sabendo que sin 0,6pi = sin (108^circ) approx 0,9511 e sin 0,2pi = sin (36^circ) approx 0,5878:
= 0,10pi - 0,9511 - 0,58784 = 0,10pi - 0,36334 = 0,10pi - 0,0908 approx 0,3142 - 0,0908 approx 0,2234

Passo 8

Agora, juntando tudo para encontrar a corrente total:
I approx 55,172 times 0,2234 times 2pi = 55,172 times 0,2234 times 6,2832 approx 55,172 times 1,403 approx 77,39 , A

Passo 9

Para calcular o valor médio de J sobre a área definida, usamos a fórmula:
lang<= J rang<= = IA
Onde A é a área da porção da superfície esférica.

Passo 10

Calculando a área A:
A = r^2 integraltheta1^theta2 integralphi1^phi2 sin theta , dphi , dtheta = (0,8)^2 integral0,1pi^0,3pi sin theta , dphi , dtheta = 0,64 times integral0,1pi^0,3pi sin theta , dtheta times integral0^2pi dphi = 0,64 times [ -cos theta ]0,1pi^0,3pi times 2pi
Calculando:
= 0,64 times ( -cos 0,3pi + cos 0,1pi ) times 2pi = 0,64 times ( -cos 54^circ + cos 18^circ ) times 2pi
Sabendo que cos 54^circ approx 0,5878 e cos 18^circ approx 0,9511:
= 0,64 times ( -0,5878 + 0,9511 ) times 6,2832 = 0,64 times 0,3633 times 6,2832 approx 0,64 times 2,285 approx 1,462 , m^2

Passo 11

Finalmente, o valor médio de J é:
lang<= J rang<= approx 77,39 , A1,462 , m^2 approx 52,93 , A/m^2

Resposta

(a) A corrente total que flui pela porção da superfície esférica é aproximadamente 77,39 A.
(b) O valor médio de J sobre a área definida é aproximadamente 52,93 A/m².

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