Seja
. (a) Calcule a corrente total que flui pela porção da superfície esférica
, limitada por
,
. (b) Calcule o valor médio de
sobre a área definida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre densidade de corrente elétrica em coordenadas esféricas. A gente precisa calcular a corrente total que passa por uma parte específica de uma superfície esférica e também o valor médio dessa densidade de corrente nessa área. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais em coordenadas esféricas e entender como aplicar a densidade de corrente dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a expressão da densidade de corrente elétrico fornecida:
Aqui,
está na direção radial
, e sua magnitude depende de
e
.
Passo 3
Para encontrar a corrente total que passa por uma superfície, a gente precisa calcular a integral de superfície da densidade de corrente:
Onde
é o elemento de área vetorial na superfície.
Passo 4
Como a superfície é esférica de raio
, o elemento de área em coordenadas esféricas é dado por:
Como
está na direção
, o produto escalar
simplifica para:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, calculamos
.
Então, a expressão fica:
Multiplicando os números:
Então:
Passo 6
Agora, configuramos os limites de integração conforme o enunciado:
Então, a integral para a corrente total fica:
Passo 7
Vamos resolver as integrais separadamente. Primeiro, a integral em
:
Depois, a integral em
:
Lembrando que
, então:
Aplicando os limites:
Calculando:
Sabendo que
e
:
Passo 8
Agora, juntando tudo para encontrar a corrente total:
Passo 9
Para calcular o valor médio de
sobre a área definida, usamos a fórmula:
Onde
é a área da porção da superfície esférica.
Passo 10
Calculando a área
:
Calculando:
Sabendo que
e
:
Passo 11
Finalmente, o valor médio de
é:
Resposta
(a) A corrente total que flui pela porção da superfície esférica é aproximadamente 77,39 A.
(b) O valor médio de
sobre a área definida é aproximadamente 52,93 A/m².