Dado J=-10^4(y ax+x ay) A / m^2, calcule a corrente que atravessa o plano y=0 na direção e sentido -ay, entre z=0 e 1, e x=0 e 2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma densidade de corrente elétrica J = -10^4(y ax + x ay) , A/m^2 e precisa calcular a corrente que atravessa o plano y = 0 na direção e sentido de -ay, entre z = 0 e 1 metro, e x = 0 e 2 metros. Isso envolve conceitos de corrente elétrica e densidade de corrente, que são parte da eletricidade e magnetismo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é densidade de corrente ( J). Ela nos diz quanta corrente elétrica está passando por uma área específica. Para encontrar a corrente total que atravessa uma superfície, a gente precisa integrar a densidade de corrente sobre essa superfície. A fórmula geral é:
I = integral duplaS J cdot n , dS
Onde:
  • I é a corrente total.
  • J é a densidade de corrente.
  • n é o vetor normal à superfície.
  • dS é um elemento de área da superfície.

Passo 3

No nosso caso, a superfície é o plano y = 0 na direção de -ay. Isso significa que o vetor normal n é -ay. Então, temos:
n = -ay
E a região de integração é:
  • x varia de 0 a 2 metros.
  • z varia de 0 a 1 metro.

Passo 4

Vamos substituir a densidade de corrente J e o vetor normal n na fórmula da corrente:
I = integral duplaS J cdot n , dS = integral duplaS [-10^4(y ax + x ay)] cdot (-ay) , dS

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar J cdot n:
J cdot n = -10^4(y ax + x ay) cdot (-ay) = -10^4 ( y underbraceax cdot ay0 + x underbraceay cdot ay1 ) (-1)
Como ax cdot ay = 0 e ay cdot ay = 1, fica:
J cdot n = -10^4 (0 + x) (-1) = 10^4 x

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral para encontrar a corrente:
I = integral duplaS 10^4 x , dS
Como a superfície é o plano y = 0, as coordenadas são apenas x e z, então dS = dx , dz. Assim:
I = 10^4 integralz=0^1 integralx=0^2 x , dx , dz

Passo 7

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a x:
integral0^2 x , dx = [x^22]0^2 = 2^22 - 0^22 = 42 = 2

Passo 8

Agora, substituímos esse resultado na integral externa, que é em relação a z:
I = 10^4 integral0^1 2 , dz = 10^4 cdot 2 cdot [ z ]0^1 = 10^4 cdot 2 cdot (1 - 0) = 2 times 10^4

Resposta

A corrente que atravessa o plano y = 0 é de 2 times 10^4 Amperes.

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