Dado , calcule a corrente que atravessa o plano na direção e sentido , entre , e .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma densidade de corrente elétrica e precisa calcular a corrente que atravessa o plano na direção e sentido de , entre e metro, e e metros. Isso envolve conceitos de corrente elétrica e densidade de corrente, que são parte da eletricidade e magnetismo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é densidade de corrente (). Ela nos diz quanta corrente elétrica está passando por uma área específica. Para encontrar a corrente total que atravessa uma superfície, a gente precisa integrar a densidade de corrente sobre essa superfície. A fórmula geral é:
Onde:
é a corrente total.
é a densidade de corrente.
é o vetor normal à superfície.
é um elemento de área da superfície.
Passo 3
No nosso caso, a superfície é o plano na direção de . Isso significa que o vetor normal é . Então, temos:
E a região de integração é:
varia de a metros.
varia de a metro.
Passo 4
Vamos substituir a densidade de corrente e o vetor normal na fórmula da corrente:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar :
Como ax cdot ay = 0 e ay cdot ay = 1, fica:
J cdot n = -10^4 (0 + x) (-1) = 10^4 x
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral para encontrar a corrente:
I = integral duplaS 10^4 x , dS
Como a superfície é o plano y = 0, as coordenadas são apenas x e z, então dS = dx , dz. Assim:
I = 10^4 integralz=0^1 integralx=0^2 x , dx , dz
Passo 7
Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a x: